Vettore

vettori vengono indicati nella letteratura scientifica con una lettera, generalmente minuscola, con al di sopra di essa una freccia: \(\vec{v}\).

In tale contesto intervengono i seguenti enti fondamentali:

  • vettori liberi: caratterizzati da modulo, direzione e verso;
  • cursori: caratterizzati da modulo, direzione, verso, e retta d’azione;
  • vettori applicati: caratterizzati da modulo, direzione, verso, e punto di applicazione;
  • versori: caratterizzati solamente da direzione e verso; (il modulo è unitario).

Spieghiamo ora nello specifico quali sono le caratteristiche di un vettore:

  • il modulo di un vettore, \(\|\vec{v}\|=v\), altro non è che la lunghezza del vettore stesso. In fisica, il modulo di un vettore si identifica con un numero e un’unità di misura;
  • la direzione di un vettore è la retta geometrica su cui giace il segmento e che indica anche l’inclinazione rispetto al sistema di riferimento scelto;
  • il verso di un vettore, invece, è l’orientazione del segmento che definisce il vettore.

Operazioni vettoriali

Somma di vettori

La somma o risultante di due o più vettori è un vettore libero, uguale al lato di chiusa della poligonale dei vettori addendi, con origine nell’origine del primo vettore e secondo estremo nel secondo estremo dell’ultimo.

\[\vec{R}=\vec{a}+\vec{b}\]

Differenza tra vettori

La differenza di due vettori è uguale alla somma del primo più l’opposto del secondo.

\[\vec{R}=\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})\]

La differenza di due punti è un vettore che ha origine nel secondo punto e secondo estremo nel primo.

\[(P-O)=\vec{v}\]

Si ricava da quest’ultima l’espressione, la somma di un punto più un vettore: è il punto che si ottiene spostando il punto dato, nella direzione e verso del vettore, di un segmento pari al suo modulo.

\[P=O+\vec{v}\]

Si ricorda che per le espressioni contenenti punti e vettori è sempre lecito operare formalmente con le solite regole dell’algebra, purché si badi a che non si pervenga ad espressioni prive di significato vettoriale.

Prodotto vettoriale

Il prodotto di un vettore per un numero è ancora un vettore che differisce dal primo solo per avere il modulo uguale al prodotto del modulo del vettore dato per quel numero.

Il prodotto scalare di due vettori è un numero (o scalare) uguale al prodotto dei moduli dei vettori dati per il coseno dell’angolo compreso fra le loro direzioni; geometricamente è il prodotto del modulo dell’uno per la proiezione dell’altro su di esso.

\[s=\vec{a}\times\vec{b}=ab\cos{\alpha}\]

con \(\alpha\) l’angolo tra i due vettori. Il prodotto scalare gode della proprietà commutativa e della proprietà distributiva rispetto alla somma.

Se il prodotto scalare fra due vettori non nulli risulta nullo, essi sono necessariamente perpendicolari fra loro.

Il prodotto vettoriale fra due vettori è un vettore il cui modulo è uguale al prodotto dei moduli dei due vettori dati moltiplicato ancora per il seno dell’angolo compreso fra le loro direzioni; la sua direzione è quella della perpendicolare al piano individuato dai due vettori (e quindi sarà ortogonale ad entrambi i vettori dati); il suo verso sarà quello dell’avanzamento di una vite ruotata come ruoterebbe il primo vettore per sovrapporsi al secondo.

\[\vec{v}=\vec{a}\wedge \vec{b}=ab\sin{\alpha}\]

dove \(\alpha\) è l’angolo fra i due vettori, misurato da \(\vec{a}\) verso \(\vec{b}\).

Se il prodotto vettoriale fra due vettori non nulli risulta nullo essi sono necessariamente paralleli fra loro.

Il prodotto vettoriale gode della proprietà distributiva rispetto alla somma ma non gode della proprietà commutativa. È infatti:

\[\vec{a}\wedge \vec{b}=-(\vec{a}\wedge \vec{b})\]

Geometricamente il prodotto vettore rappresenta l’area del parallelogramma costruito sui vettori dati.

Il prodotto misto di tre vettori è uno scalare il cui valore misura il volume del parallelepipedo costruito sui tre vettori dati. Si definisce come:

\[s=\vec{a}\wedge \vec{b}\times\vec{c}\]

Se esso si annulla i tre vettori sono complanari.

Il doppio prodotto vettoriale è un vettore definito da:

\[(\vec{a}\wedge \vec{b})\wedge\vec{c}=(\vec{a}\times \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\times \vec{c})\vec{a}\]

È importante ricordare che è diverso il risultato di:

\[\vec{a}\wedge(\vec{b}\wedge \vec{c})=(\vec{a}\times \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\times \vec{b})\vec{c}\]

La componente di un vettore secondo una direzione orientata, è il prodotto scalare del vettore dato per il versore di quella direzione. Pertanto, se \(\rho\) è il versore della direzione che interessa, il componente del vettore a secondo \(\rho\) è:

\[a_{\rho}=\vec{a}\times\vec{\rho}=a\cos{\alpha}\]

dove \(\alpha\) è l’angolo di cui è ruotato il vettore a rispetto al versore.

Componenti cartesiane di un vettore

Le componenti cartesiane di un vettore sono le componenti secondo le tre direzioni orientate di una terna cartesiana ortogonale, \(Oxyz\), identificata dai suoi versori \(i , j, k\):

\[v_x=\vec{v}\times \vec{i}=v\cos{\alpha}\]

\[v_y=\vec{v}\times \vec{j}=v\cos{\beta}\]

\[v_z=\vec{v}\times \vec{k}=v\cos{\gamma}\]

Ne consegue l’identità:

\[\vec{v}=v_x\times \vec{i}+v_y\times \vec{j}+v_z\times \vec{k}\]