Sistema numerico decimale (base 10)

Nel sistema di numerazione decimale si usano i dieci simboli: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Nella notazione polinomiale un numero in base 10 si scrive come somma di potenze di 10 moltiplicate per le cifre che compongono il numero, la potenza del dieci che moltiplica ciascuna cifra è pari alla posizione occupata dalla cifra contando da destra verso sinistra e cominciando a contare da zero.

In generale, il valore attribuito alle varie cifre non dipende soltanto dalla specifica cifra considerata ma anche dalla posizione che essa occupa all’interno del numero. Il sistema di numerazione che solitamente usiamo è dunque un sistema posizionale. È chiamato decimale o a base dieci perché dieci unità di un determinato ordine sono rappresentate da un’unità di ordine superiore. Ad esempio i numeri 123 e 312 sono due numeri diversi anche se composti dalle stesse cifre, sono diversi perché la posizione delle cifre che li compongono è differente. Ad esempio, la cifra 1, che in 123 è nella posizione più a sinistra, si trova al centro del numero 312.

Riassumendo, abbiamo una serie di dieci simboli: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 che rappresentano il numero delle unità di un determinato ordine. Il significato dei simboli dipende anche dalla posizione che assumono nella “parola” che rappresenta un numero. Ad esempio: \(1846 = 1 \cdot (1000) + 8 \cdot (100) + 4 \cdot (10) + 6 \cdot (1)\), che scritto con le potenze di 10 diventa: \(1846 = 1\cdot(10)^3 +8\cdot(10)^2 +4\cdot(10)^1 +6\cdot(10)^0\).

L’esponente del peso attribuito ad ogni cifra che compone la scrittura di un numero rappresenta la posizione della cifra a partire da quella più a destra (0) cioè la meno significativa, quindi ne denota l’ordine di importanza.

Scrittura di un numero in una base qualsiasi

Il procedimento usato per scrivere un numero in base 10 può essere usato per scrivere un numero in una base qualsiasi. Vediamo un primo esempio: contiamo 29 oggetti in base 5.

Utilizziamo un abaco, ma anziché contare per dieci contiamo per cinque. Invece di raggruppare per unità, decine, decine di decine (centinaia) e così via, conteremo raggruppando per unità, per cinquine, per cinquine di cinquine (venticinquine) e così via.

abaco sistemi numerazione esempio

Il numero rappresentato nell’abaco si scrive \((104)_5\) e si legge “uno-zero-quattro in base cinque” per distinguerlo da centoquattro scritto in base 10, che sarebbe 104 ovvero \((104)_{10}\). Per ottenere il numero decimale che corrisponde al numero scritto in base 5 occorre sviluppare il numero in base 5 nella sua scrittura polinomiale:

\[(104)_5 = 1 \cdot 5^2 + 0 \cdot 5^1 + 4 \cdot 5^0 = 25+0+4 = (29)_{10}\]

Proviamo ora a contare gli stessi 29 oggetti, ma in base 3.

abaco sistemi numerazione esempio 2

Questa volta contiamo per tre. Il numero ottenuto si scrive \((1002)_3\) e si legge “uno-zero-zero-due in base tre” per distinguerlo da milledue scritto in base 10.

Per ottenere il numero decimale corrispondente, occorre sviluppare il numero in base 3 nella sua scrittura polinomiale.

\[(1002)_3 = 1\cdot 3^3 +0\cdot 3^2 +0\cdot 3^1 +2\cdot 5^0 = 27+0+0+2 = (29)_{10}\]

In accordo con quanto detto in precedenza, in questi esempi abbiamo visto che i simboli che occorrono per scrivere un numero in base 10 sono dieci {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, quelli necessari per scrivere un numero in base 5 sono cinque {0, 1, 2, 3, 4} e quelli necessari per scrivere un numero in base 3 sono tre {0, 1, 2}. Analogamente, i simboli che serviranno per scrivere un numero in base 2 sono due {0, 1}.

Possiamo scrivere i numeri anche in una base superiore a 10. Una base molto usata in informatica, insieme alla base 2, è la base esadecimale, cioè la base 16. In questo caso, per contare devo fare raggruppamenti di 16; sono perciò necessari 16 simboli per indicare questi raggruppamenti, che rappresentano i valori da 0 a 15. Pertanto occorrono dei simboli in più rispetto a quelli utilizzati dal sistema di numerazione decimale, che servono per rappresentare i valori 10, 11, 12, 13, 14, 15. Convenzionalmente, come già detto si utilizzano le lettere dell’alfabeto:

\[(A)_{16} = (10)_{10} \qquad (B)_{16} = (11)_{10} \qquad (C)_{16} = (12)_{10}\]

\[(D)_{16} = (13)_{10} \qquad (E)_{16} = (14)_{10} \qquad (F)_{16} = (15)_{10}\]

Quindi i numeri esadecimali, in ordine crescente, sono: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 10, 11, 12, 13, 14 ,15, … eccetera.

Convertire un numero da una base diversa da 10 a base 10

Per scrivere un numero da una base diversa da 10 a base 10 bisogna svilupparlo nella sua forma polinomiale.

Se \((x)_B\) è un numero qualsiasi scritto nella base \(B\) e se \(a_na_{n−1} … a_2a_1a_0\) sono le cifre che compongono la sua rappresentazione, da quella più significativa (con peso \(B^n\)) a quella meno significativa (con peso \(B^0 = 1\)), avremo:

\[(x)_{10} = a_n \cdot B^n +a_{n−1}\cdot B^{n−1} +…+a_2\cdot B^2 +a_1\cdot B^1 +a_0 \cdot B^0\]

Convertire un numero da base 10 a una base diversa da 10

Abbiamo visto che per contare e scrivere un numero in una base diversa da dieci, per esempio \((29)_{10}\) in base 3, dobbiamo raggruppare per 3. Raggruppare per 3 ha lo stesso significato che dividere per 3. Nella prima divisione per tre il quoziente indica quante terzine otteniamo, mentre il resto indica quante unità (di ordine 0) verranno considerate.

Nel nostro esempio si ottengono 29/3 = 9 terzine, mentre rimangono 2 unità (di ordine 0). Il 2 sarà il primo numero a destra che verrà considerato. Con 9 terzine si ottengono 9/3 = 3 terzine di terzine (novine) con resto 0. Questo 0 diventa la cifra che scriviamo a sini- stra del 2. Con 3 terzine di terzine otteniamo una terzina di terzina di terzina (ventisetti- na), mentre rimangono 0 terzine di terzine. Questo 0 diventa il numero che scriviamo a sinistra dello 0 precedente. Ora, 1 : 3 dà come quoziente 0 (terzine di quarto ordine) con resto 1. Qui ci fermiamo e scriviamo 1 a sinistra dello 0 trovato precedentemente.

 Sistema di numerazione base 10

Il numero si compone da sinistra verso destra con le cifre dei vari resti nell’ordine opposto a quello nel quale sono stati ottenuti. Si ha così \((29)_{10} = (1002)_3\). Controlliamo con la notazione polinomiale: \(1\cdot 3^3+0\cdot 3^2+0\cdot 3^1+2\cdot 3^0 =27+2=29\).

Vediamo un altro esempio: convertiamo nel sistema binario (in base 2) il numero 59. Dividiamo successivamente 59 per 2 fino a che non otteniamo zero come quoziente e prendiamo come risultato della conversione la successione dei resti partendo dall’ultimo ottenuto. Il numero 59 scritto in base 2 sarà pertanto \((111011)_2\).

esempio conversione sistema binario

Verifichiamo con la scrittura polinomiale: \(1\cdot 2^5 +1\cdot 2^4 +1\cdot 2^3 +0\cdot 2^2 +1\cdot 2^1 +1\cdot 2^0 = 32+16+8+2+1 = 59\).

Un altro esempio: trasforma 315 da base 10 a base 3, 4 e 5.

trasformazioni di base sistemi di numerazione

Convertire un numero da una base diversa da 10 a un’altra base diversa da 10

Scriviamo ad esempio il numero \((1023)_4\) in base 7. Per scrivere un numero da una base B a una base K entrambe diverse da 10 occorre:

  1. trasformare il numero in base B in un numero decimale attraverso la sua scrittura polinomiale;
    \[(1023)_4 =1\cdot 4^3 +0\cdot 4^2 +2\cdot 4^1 +3\cdot 4^0 =64+0+8+3=(75)_{10}\]
  2. trasformare il numero decimale nella base K attraverso i resti delle divisioni successive per K presi nell’ordine opposto a quello nel quale sono stati ottenuti.
trasformazioni di base sistemi di numerazione base diversa da dieci in altra

Le trasformazioni eseguite sono quindi: \((1023)_4 \rightarrow (75)_{10} \rightarrow (135)_7\).

Bibliografia

  1. Matematica C3, Algebra 1 – Codice ISBN: 9788896354803 – Editore: Matematicamente.it – Anno di edizione: 2015
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