Sistema numerico binario (base 2)

Tutti gli strumenti elettronici che utilizziamo hanno bisogno di tradurre le informazioni che inseriamo in stati fisici della macchina. Dal punto di vista tecnico oggi usiamo dispositivi elettrici, magnetici, ottici che sono bistabili, ossia assumono due stati fisici differenti e il metodo più semplice e più efficiente per tradurre in “linguaggio macchina” le nostre informazioni è utilizzare la base 2: composta solo dai simboli 0 e 1. La base due è quindi l’alfabeto a disposizione delle macchine per comprendere e rispondere alle nostre richieste. Se si utilizzasse la base 10 dovremo far riconoscere dall’apparato dieci differenti simboli che dovrebbero essere tradotti in altrettanti stati differenti di dispositivi fisici.

A partire da questa informazione elementare detta bit (compressione dall’inglese di binary digit) è possibile costruire informazioni più complesse sotto forma di sequenze finite di zero e di uno. Attraverso la codifica binaria si è in grado di rappresentare caratteri, numeri, istruzioni di programmi ma anche immagini, suoni e video. Tutte le informazioni gestite da un computer sono quindi numeri in forma binaria.

Metodo per trasformare un numero decimale in un numero binario

Per trasformare i numeri da base 10 a base 2 basta scrivere il numero come somma delle potenze del 2:

  1. si parte dalla potenza del 2 più vicina, per difetto, al numero da convertire;
  2. si vede se la potenza precedente di ordine inferiore può fare parte della sequenza, cioè se la somma tra le potenze non diventa più grande del numero. Se può farne parte allora si scrive 1, altrimenti 0;
  3. si prosegue in questo modo fino ad arrivare a 20;
  4. la sequenza di 1 e 0 nell’ordine ottenute sono le cifre che, da sinistra verso destra, rappresentano il numero binario corrispondente.

Consideriamo ancora il numero 59 e convertiamolo in base 2:

  • qual è la potenza del 2 più vicina, per difetto, al numero 59? È 32, cioè \(2^5\). Quindi \(2^5\) fa parte del numero binario. Scrivo 1 come primo numero della sequenza;
  • vediamo ora \(2^4\) = 16. Anche 16 può far parte del numero binario perché 32 + 16 = 48 che è minore di 59. Segno 1 come secondo numero della sequenza;
  • per lo stesso ragionamento anche \(2^3\) = 8 fa parte del numero binario. Infatti 32 + 16 + 8 = 56 è minore di 59. Segno ancora 1 come terzo numero della sequenza;
  • invece \(2^2\) =4 non può farne parte perché 32 + 16 + 8 + 4 = 60 è maggiore di 59. Segno 0 come quarto numero della sequenza;
  • \(2^1 =2\) e \(2^0 =1\) vanno bene e si arriva al totale voluto 59. Segno 1 come quinto e 1 come sesto numero della sequenza.

Riassumendo: \(59=1\cdot 2^5+1\cdot 2^4+1\cdot 2^3+0\cdot 2^2+1\cdot 2^1+1\cdot 2^0 =(111011)_2\).

Conversione tra base 4, base 8, base 16 e base 2

Consideriamo il numero scritto in base 2 \((11010011100101)_2\). Vogliamo scriverlo in base 4, in base 8, in base 16 senza passare dalla sua scrittura in base 10. Notiamo che gruppi di due cifre in base 2 rappresentano tutte le cifre della base 4, gruppi di 3 cifre in base 2 rappresentano tutte le cifre della base 8 e gruppi di 4 cifre nella base 2 rappresentano tutte le cifre della base 16, come indicato nella seguente tabella.

tabella trasformazioni di base sistemi di numerazione

Da base 2 a base 4

Dobbiamo raggruppare il numero scritto in base 2 in gruppi di due cifre, partendo da destra, e tradurre il valore di ogni singolo gruppo con la corrispondente cifra in base 4.

Da base 2 a base 4

Da base 2 a base 8

Dobbiamo raggruppare il numero scritto in base 2 in gruppi di tre cifre, partendo da destra, e tradurre il valore di ogni singolo gruppo con la corrispondente cifra in base 8.

Da base 2 a base 8

Da base 2 a base 16

Dobbiamo raggruppare il numero scritto in base 2 in gruppi di quattro cifre, partendo da destra, e tradurre il valore di ogni singolo gruppo con la corrispondente cifra in base 16.

Da base 2 a base 16

Bibliografia

  1. Matematica C3, Algebra 1 – Codice ISBN: 9788896354803 – Editore: Matematicamente.it – Anno di edizione: 2015
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