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Scalare

In Matematica il termine scalare è definito come un elemento di un corpo (o di un campo) associato agli spazi vettoriali costruiti su quel corpo (o campo) attraverso l’operazione di moltiplicazione.

In Fisica uno scalare (o grandezza scalare) è semplicemente un numero reale. Una grandezza scalare è quindi un numero reale più l’unità di misura associata alla proprietà. Un vettore è invece un elemento che ha bisogno anche di una direzione e verso per essere completamente definito.

Un esempio che mostra la differenza tra uno scalare e un vettore è la rappresentazione di un segmento orientato. Se consideriamo due punti \(A\) e \(B\), il modulo della distanza tra i due è chiaramente uno scalare. Questa rappresenta solamente la distanza in termini di lunghezza tra i due punti. Al contrario il vettore \(\vec{AB}\) fornisce anche una informazione spaziale. Si rappresenta infatti come una freccia che parte dal punto \(A\) e termina in \(B\).

Prodotto di uno scalare per un vettore

Il prodotto di uno scalare per un vettore gode della proprietà associativa e distributiva rispetto alla somma. Utilizzando le componenti scalari, il prodotto viene definito come:

\[\lambda \vec{v}=\lambda \begin{Bmatrix}
v_x\\
v_y\\
v_z
\end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix}
\lambda v_x\\
\lambda v_y\\
\lambda v_z
\end{Bmatrix}\]

Prodotto scalare

Il prodotto scalare tra due vettori restituisce come risultato un numero scalare. Il prodotto scalare è definito come:

\[\vec{a}\cdot \vec{b} =|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cos{\theta}\]

dove \(\theta\) è l’angolo formato dai due vettori. Possiamo anche utilizzare direttamente le componenti dei vettori ed ottenere:

\[\vec{a}\cdot \vec{b} =\begin{Bmatrix}
a_x \\
a_y \\
a_z
\end{Bmatrix} \cdot \begin{Bmatrix}
b_x \\
b_y \\
b_z
\end{Bmatrix} = a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z\]

Campo scalare

Si dicono campi scalari quei campi caratterizzati in ogni punto dal valore assunto in quel punto da una grandezza scalare (ad esempio la temperatura). Per rappresentare un campo scalare si congiungono tutti i punti in cui il campo ha uguale valore con delle curve (es. curve isobare uniscono i punti che hanno la stessa pressione).

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