Radicali

L’operazione inversa dell’elevazione a potenza è l’estrazione di radice. L’espressione matematica \(\sqrt[n]{a}\) viene detta radicale n-esimo di \(a\) (detto radicando) dove \(n\), l’indice del radicale, è un numero naturale diverso da zero.

Dati due numeri naturali \(a\) e \(n\) (con \(n > 1\)) si definisce radice n-esima di \(a\) il numero \(r\) tale che moltiplicando tra loro \(n\) fattori tutti uguali a \(r\) si ottiene come risultato \(a\). \[\sqrt[n]{a}=r\]

Proprietà dei radicali

Somma e differenza tra radicali

Per calcolare la somma o la differenza tra radicali, questi devono avere stesso radicando e stesso indice del radicale, quindi si esegue la somma o la differenza tra i coefficienti fuori la radice.

\[x\sqrt[n]{a}\pm y\sqrt[n]{a}\pm z\sqrt[n]{a}=(x\pm y\pm z)\sqrt[n]{a}\]

Potenze di radicali

Come già visto per le proprietà delle potenze con esponente razionale.

\[\sqrt[m]{a^{n}}=\left(\sqrt[m]{a}\right)^{n}=\left(a^{\frac{1}{m}}\right)^{n}=a^{\frac{n}{m}}\]

con \(a\geq0\) e \(n,m\in\mathbb{N}-{0}\).

Portar fuori, o dentro, un radicando

\[\sqrt[m]{a^{n}b}=a^{\frac{n}{m}}\sqrt[m]{b}\]

Prodotto di radicali con lo stesso indice

\[\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\]

con \(a\geq0, b\geq0\) e \(n\in\mathbb{N}-{0}\).

Quoziente di radicali

\[\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\]

con \(a\geq0, b>0\) e \(n\in\mathbb{N}-{0}\).

Radice di un radicale

\[\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[mn]{a}\]

con \(a\geq0\) e \(n,m\in\mathbb{N}-{0}\).

Radicali quadratici doppi

\[\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^{2}-b}}{2}}\pm\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^{2}-b}}{2}}\]

Razionalizzazione

\[\frac{1}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})}=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\cdot\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}\]