Proporzione (matematica)

In Matematica, con il termine proporzione si definisce un’uguaglianza fra due rapporti, tipicamente espressi come segue:

\[a:b=c:d\]

che si legge: \(a\) sta a \(b\) come \(c\) sta a \(d\), questi sono chiamati termini della proporzione ed assumono una denominazione particolare a seconda della posizione occupata nella proporzione stessa:

  • \(a\) e \(c\) sono gli antecedenti (ovvero i numeratori dei rispettivi rapporti);
  • \(b\) e \(d\) sono i conseguenti (ovvero i denominatori dei rispettivi rapporti);
  • \(a\) e \(d\) si dicono estremi della proporzione;
  • \(b\) e \(c\) si dicono medi della proporzione.

Calcolo di un medio o un estremo incognito

Il medio incognito di una proporzione si calcola moltiplicando gli estremi e dividendo per il medio noto:

\[a:b=x:d\]

\[x=\dfrac{a\cdot d}{b}\]

L’estremo incognito di una proporzione si calcola moltiplicando i medi e dividendo per l’estremo noto:

\[x:b=c:d\]

\[x=\dfrac{b\cdot c}{d}\]

Calcolo del medio in una proporzione continua

Una proporzione si dice continua se ha i medi uguali. In una proporzione continua il medio proporzionale incognito si ottiene moltiplicando gli estremi e calcolando la radice quadrata del prodotto ottenuto, cioè:

\[a:x=x:d\]

\[x=\sqrt{a\cdot d}\]

Calcolo di un termine incognito per mezzo delle proprietà del comporre e dello scomporre

Calcolare \(x\) nella proporzione: \((11 − x) : x = 15 : 5\). Applicando la proprietà del comporre si ottiene la proporzione seguente:

\[(11−x+x):x=(15+5):5 \Rightarrow 11:x=20:5\]

\[x=\dfrac{11\cdot 5}{20}=\dfrac{11}{4}\]

Calcolare \(x\) nella proporzione: \(\left(\dfrac{1}{2}+x\right):\dfrac{5}{8}=x:5\)

Permutando i medi si ha: \(\left(\dfrac{1}{2}+x\right):x=\dfrac{5}{8}:5\)

Quindi applicando la proprietà dello scomporre si ha:

\[\left(\dfrac{1}{2}+x-x\right):x=\left(\dfrac{5}{8}-5\right):5\]

\[\dfrac{1}{2}:x=-\dfrac{35}{8}:5\]

\[x=\dfrac{1}{2}\cdot 5\cdot\left(-\dfrac{8}{35}\right)=-\dfrac{4}{7}\]

Proprietà delle proporzioni

Proprietà fondamentale delle proporzioni

Se vale \(a:b=c:d\) allora sussiste l’uguaglianza \(a\cdot d=b\cdot c\), ovvero, il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.

Una proporzione si definisce geometrica (o continua) quando i medi sono uguali:

\[a:m=m:d\]

quindi, il termine \(m\) viene definito medio proporzionale ( o media geometrica) tra \(a\) e \(b\). Dalla proprietà fondamentale delle proporzioni, segue che in una proporzione geometrica il medio proporzionale è uguale a \(\sqrt{ab}\).

Proprietà del comporre

In una proporzione la somma dei primi due termini sta al primo termine come la somma del terzo e del quarto termine sta al terzo termine. Analogamente, la somma dei primi due termini sta al secondo termine come la somma del terzo e del quarto termine sta al quarto termine. In termini matematici:

\[(a+b):a=(c+d):c\]

\[(a+b):b=(c+d):d\]

Proprietà dello scomporre

In ogni proporzione, la differenza fra i primi due termini sta al primo (o al secondo) termine come la differenza fra i due restanti termini sta al terzo (o al quarto) termine.

\[(a-b):a=(c-d):c\]

\[(a-b):b=(c-d):d\]

Proprietà del permutare

Data una proporzione, è ancora una proporzione quella che si ottiene scambiando fra loro i medi (o gli estremi).

\[a:c=b:d\]

\[d:b=c:a\]

Proprietà dell’invertire

Data una proporzione, si ottiene ancora una proporzione se si scambia ogni antecedente con il proprio conseguente.

\[b:a=d:c\]

Bibliografia

  1. Matematica C3, Algebra 1 – Codice ISBN: 9788896354803 – Editore: Matematicamente.it – Anno di edizione: 2015