Potenza (matematica)

Le potenze sono delle operazioni matematiche che sostituiscono le moltiplicazioni multiple tra numeri o variabili uguali, semplificandone sia la scrittura che l’elaborazione.

Se l’esponente è maggiore di 1, la potenza è il prodotto di tanti fattori quanti vengono indicati dal numero dell’esponente, tutti uguali alla base. Da questa affermazione si evince che l’esponente debba essere almeno maggiore o uguale a 2, per far si che si abbia almeno una moltiplicazione, ossia due fattori.

Se la base della potenza è negativa e l’esponente è dispari, il segno diventa positivo, in tutti gli altri casi il segno rimane (o diventa) positivo sia nel caso in cui l’esponente è dispari che pari. Ad esempio: se \(a\) rappresenta il valore assoluto della base, mentre \(p\) un numero naturale pari e \(d\) uno dispari si avranno i seguenti casi:

\[(+a)^p=+a^p\]

\[(+a)^d=+a^d\]

\[(-a)^p=+a^p\]

\[(-a)^d=-a^p\]

Proprietà delle potenze

Prima proprietà delle potenze

La prima proprietà delle potenze è il prodotto di potenze di uguale base che enuncia: il prodotto tra potenze con uguale base è equivalente ad una potenza con la stessa base ed esponente pari alla somma degli esponenti dei fattori, in termini matematici:

\[a^x\cdot a^y = a^{x+y}\]

Seconda proprietà delle potenze

La seconda proprietà delle potenze è il quoziente di potenze di uguale base che enuncia: il quoziente tra potenze di uguale base è una potenza con la stessa base, ma che ha come esponente la differenza degli esponenti; a condizione che l’esponente del secondo fattore sia minore o uguale dell’esponente del primo e con la base diversa da 0, in termini matematici:

\[a^x : a^y = a^{x-y}\]

con \(a\neq 0\) e \(x\geq y\).

Terza proprietà delle potenze

La terza proprietà delle potenze è la potenza di una potenza, ovvero una potenza elevata ad un’altra potenza, che ha dunque la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti; in termini matematici:

\[(a^x)^y=a^{x\cdot y}\]

Quarta proprietà delle potenze

La quarta proprietà delle potenze è il prodotto di potenze di uguale esponente, ovvero una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente:

\[a^x\cdot b^x = (a\cdot b)^x\]

Quinta proprietà delle potenze

La quinta proprietà delle potenze è il quoziente di potenze di uguale esponente, ovvero una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente:

\[a^x : b^x = (a : b)^x\] ovviamente con \(b\neq 0\).

Casi particolari

Potenze con esponente pari a 1 oppure a 0, esistono ed hanno comunque significato:

Esponente pari a zero

Elevando a 0 un numero (o una variabile) diverso da 0 si ottiene 1 (se \(a\neq 0\)):

\[a^0=1\]

Esponente pari a uno

Elevando a 1 un numero (o una variabile) si ottiene il numero stesso:

\[a^1=a\]

Esponente negativo

Elevando un numero (o una variabile) a \(-x\) (con \(x>0\)) si ottiene l’inverso del numero stesso:

\[a^{-x}=\left(\dfrac{1}{a}\right)^x=\dfrac{1}{a^x}\]

Esponente n-esimo di zero

Elevando ad una potenza n-esima il numero zero si ottiene comunque zero:

\[0^n=0\]

con \(n\in\mathbb{N};\; n\neq 0\)

Caso impossibile

Non ha significato la potenza con base ed esponente pari a zero:

\[0^0\]

Esercizi svolti e commentati passo-passo sulle equazioni esponenziali

Esercizio 1

Risolviamo la seguente equazione esponenziale:

\(3^{3x}=\dfrac{1}{27}\)

notiamo che…

\(3^{3x}=\dfrac{1}{3^3}\rightarrow 3^{3x}=3^{-3}\)

ora risolviamo per \(x\) all’esponente

\(3x=-3\) la soluzione dunque è: \(x=-1\)

Esercizio 2

Risolviamo la seguente equazione esponenziale:

\(8^x\cdot 4^{3x}=16^{x+5}\)

\(2^{3x}\cdot 2^{6x}=2^{4(x+5)}\)

ora risolviamo per \(x\) all’esponente (ricordando le proprietà delle potenze)

\(3x+6x=4(x+5)\)

\(9x=4x+20\) quindi otteniamo: \(x=4\)