Numero

Sistemi di numerazione

Si definisce sistema di numerazione l’insieme dei simboli e delle regole che permettono di esprimere e rappresentare i numeri. Un sistema di numerazione si dice posizionale se il valore di un simbolo dipende dalla posizione che esso occupa nella scrittura del numero. Vediamo alcune definizioni preliminari:

Si definisce base di un sistema di numerazione il numero di simboli, ossia cifre, usati per rappresentare i valori. La potenza della base indica il peso (la posizione) che i simboli hanno all’interno della scrittura del numero. Un sistema di numerazione a base n significa che ogni numero si esprime mediante l’uso di n cifre, ciascuna delle quali ha un valore che corrisponde alla potenza di base n, e come esponente il posto k occupato da quella cifra contando a partire da destra verso sinistra.

Solitamente si usano i simboli 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 per i sistemi di numerazione a base minore o uguale a 10, per i sistemi di numerazione a base maggiore di 10, dopo il 9 si usano le lettere dell’alfabeto: A, B, C, D, E, F, …

La scrittura di un numero come somma delle cifre moltiplicate per le potenze della base si chiama notazione polinomiale. Nei sistemi posizionali ogni numero intero si esprime come somma di potenze che hanno per base la base del sistema di numerazione ed esponente la posizione occupata dalla cifra:

\[n=\sum_{k=1}^{m}a_kB^k\]

con base \(B\geq 2\) e cifre \(0\leq a_k\leq B-1\), \(a_k\in \mathbb{N}\).

Sistema decimale

Nel sistema di numerazione decimale si usano i dieci simboli: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Nella notazione polinomiale un numero in base 10 si scrive come somma di potenze di 10 moltiplicate per le cifre che compongono il numero, la potenza del dieci che moltiplica ciascuna cifra è pari alla posizione occupata dalla cifra contando da destra verso sinistra e cominciando a contare da zero.

In generale, il valore attribuito alle varie cifre non dipende soltanto dalla specifica cifra considerata ma anche dalla posizione che essa occupa all’interno del numero. Il sistema di numerazione che solitamente usiamo è dunque un sistema posizionale. È chiamato decimale o a base dieci perché dieci unità di un determinato ordine sono rappresentate da un’unità di ordine superiore. Ad esempio i numeri 123 e 312 sono due numeri diversi anche se composti dalle stesse cifre, sono diversi perché la posizione delle cifre che li compongono è differente. Ad esempio, la cifra 1, che in 123 è nella posizione più a sinistra, si trova al centro del numero 312.

Riassumendo, abbiamo una serie di dieci simboli: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 che rappresentano il numero delle unità di un determinato ordine. Il significato dei simboli dipende anche dalla posizione che assumono nella “parola” che rappresenta un numero. Ad esempio: \(1846 = 1 \cdot (1000) + 8 \cdot (100) + 4 \cdot (10) + 6 \cdot (1)\), che scritto con le potenze di 10 diventa: \(1846 = 1\cdot(10)^3 +8\cdot(10)^2 +4\cdot(10)^1 +6\cdot(10)^0\).

L’esponente del peso attribuito ad ogni cifra che compone la scrittura di un numero rappresenta la posizione della cifra a partire da quella più a destra (0) cioè la meno significativa, quindi ne denota l’ordine di importanza.

Scrittura di un numero in una base qualsiasi

Il procedimento usato per scrivere un numero in base 10 può essere usato per scrivere un numero in una base qualsiasi. Vediamo un primo esempio: contiamo 29 oggetti in base 5.

Utilizziamo un abaco, ma anziché contare per dieci contiamo per cinque. Invece di raggruppare per unità, decine, decine di decine (centinaia) e così via, conteremo raggruppando per unità, per cinquine, per cinquine di cinquine (venticinquine) e così via.

Il numero rappresentato nell’abaco si scrive \((104)_5\) e si legge “uno-zero-quattro in base cinque” per distinguerlo da centoquattro scritto in base 10, che sarebbe 104 ovvero \((104)_{10}\). Per ottenere il numero decimale che corrisponde al numero scritto in base 5 occorre sviluppare il numero in base 5 nella sua scrittura polinomiale:

\[(104)_5 = 1 \cdot 5^2 + 0 \cdot 5^1 + 4 \cdot 5^0 = 25+0+4 = (29)_{10}\]

Proviamo ora a contare gli stessi 29 oggetti, ma in base 3.

Questa volta contiamo per tre. Il numero ottenuto si scrive \((1002)_3\) e si legge “uno-zero-zero-due in base tre” per distinguerlo da milledue scritto in base 10.

Per ottenere il numero decimale corrispondente, occorre sviluppare il numero in base 3 nella sua scrittura polinomiale.

\[(1002)_3 = 1\cdot 3^3 +0\cdot 3^2 +0\cdot 3^1 +2\cdot 5^0 = 27+0+0+2 = (29)_{10}\]

In accordo con quanto detto in precedenza, in questi esempi abbiamo visto che i simboli che occorrono per scrivere un numero in base 10 sono dieci {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, quelli necessari per scrivere un numero in base 5 sono cinque {0, 1, 2, 3, 4} e quelli necessari per scrivere un numero in base 3 sono tre {0, 1, 2}. Analogamente, i simboli che serviranno per scrivere un numero in base 2 sono due {0, 1}.

Possiamo scrivere i numeri anche in una base superiore a 10. Una base molto usata in informatica, insieme alla base 2, è la base esadecimale, cioè la base 16. In questo caso, per contare devo fare raggruppamenti di 16; sono perciò necessari 16 simboli per indicare questi raggruppamenti, che rappresentano i valori da 0 a 15. Pertanto occorrono dei simboli in più rispetto a quelli utilizzati dal sistema di numerazione decimale, che servono per rappresentare i valori 10, 11, 12, 13, 14, 15. Convenzionalmente, come già detto si utilizzano le lettere dell’alfabeto:

\[(A)_{16} = (10)_{10} \qquad (B)_{16} = (11)_{10} \qquad (C)_{16} = (12)_{10}\]

\[(D)_{16} = (13)_{10} \qquad (E)_{16} = (14)_{10} \qquad (F)_{16} = (15)_{10}\]

Quindi i numeri esadecimali, in ordine crescente, sono: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 10, 11, 12, 13, 14 ,15, … eccetera.

Convertire un numero da una base diversa da 10 a base 10

Per scrivere un numero da una base diversa da 10 a base 10 bisogna svilupparlo nella sua forma polinomiale.

Se \((x)_B\) è un numero qualsiasi scritto nella base \(B\) e se \(a_na_{n−1} … a_2a_1a_0\) sono le cifre che compongono la sua rappresentazione, da quella più significativa (con peso \(B^n\)) a quella meno significativa (con peso \(B^0 = 1\)), avremo:

\[(x)_{10} = a_n \cdot B^n +a_{n−1}\cdot B^{n−1} +…+a_2\cdot B^2 +a_1\cdot B^1 +a_0 \cdot B^0\]

Convertire un numero da base 10 a una base diversa da 10

Abbiamo visto che per contare e scrivere un numero in una base diversa da dieci, per esempio \((29)_{10}\) in base 3, dobbiamo raggruppare per 3. Raggruppare per 3 ha lo stesso significato che dividere per 3. Nella prima divisione per tre il quoziente indica quante terzine otteniamo, mentre il resto indica quante unità (di ordine 0) verranno considerate.

Nel nostro esempio si ottengono 29/3 = 9 terzine, mentre rimangono 2 unità (di ordine 0). Il 2 sarà il primo numero a destra che verrà considerato. Con 9 terzine si ottengono 9/3 = 3 terzine di terzine (novine) con resto 0. Questo 0 diventa la cifra che scriviamo a sini- stra del 2. Con 3 terzine di terzine otteniamo una terzina di terzina di terzina (ventisetti- na), mentre rimangono 0 terzine di terzine. Questo 0 diventa il numero che scriviamo a sinistra dello 0 precedente. Ora, 1 : 3 dà come quoziente 0 (terzine di quarto ordine) con resto 1. Qui ci fermiamo e scriviamo 1 a sinistra dello 0 trovato precedentemente.

Il numero si compone da sinistra verso destra con le cifre dei vari resti nell’ordine opposto a quello nel quale sono stati ottenuti. Si ha così \((29)_{10} = (1002)_3\). Controlliamo con la notazione polinomiale: \(1\cdot 3^3+0\cdot 3^2+0\cdot 3^1+2\cdot 3^0 =27+2=29\).

Vediamo un altro esempio: convertiamo nel sistema binario (in base 2) il numero 59. Dividiamo successivamente 59 per 2 fino a che non otteniamo zero come quoziente e prendiamo come risultato della conversione la successione dei resti partendo dall’ultimo ottenuto. Il numero 59 scritto in base 2 sarà pertanto \((111011)_2\).

Verifichiamo con la scrittura polinomiale: \(1\cdot 2^5 +1\cdot 2^4 +1\cdot 2^3 +0\cdot 2^2 +1\cdot 2^1 +1\cdot 2^0 = 32+16+8+2+1 = 59\).

Un altro esempio: trasforma 315 da base 10 a base 3, 4 e 5.

Un altro metodo per trasformare un numero decimale in un numero binario

Per trasformare i numeri da base 10 a base 2 basta scrivere il numero come somma delle potenze del 2:

  1. si parte dalla potenza del 2 più vicina, per difetto, al numero da convertire;
  2. si vede se la potenza precedente di ordine inferiore può fare parte della sequenza, cioè se la somma tra le potenze non diventa più grande del numero. Se può farne parte allora si scrive 1, altrimenti 0;
  3. si prosegue in questo modo fino ad arrivare a 20;
  4. la sequenza di 1 e 0 nell’ordine ottenute sono le cifre che, da sinistra verso destra, rappresentano il numero binario corrispondente.

Consideriamo ancora il numero 59 e convertiamolo in base 2:

  • qual è la potenza del 2 più vicina, per difetto, al numero 59? È 32, cioè \(2^5\). Quindi \(2^5\) fa parte del numero binario. Scrivo 1 come primo numero della sequenza;
  • vediamo ora \(2^4\) = 16. Anche 16 può far parte del numero binario perché 32 + 16 = 48 che è minore di 59. Segno 1 come secondo numero della sequenza;
  • per lo stesso ragionamento anche \(2^3\) = 8 fa parte del numero binario. Infatti 32 + 16 + 8 = 56 è minore di 59. Segno ancora 1 come terzo numero della sequenza;
  • invece \(2^2\) =4 non può farne parte perché 32 + 16 + 8 + 4 = 60 è maggiore di 59. Segno 0 come quarto numero della sequenza;
  • \(2^1 =2\) e \(2^0 =1\) vanno bene e si arriva al totale voluto 59. Segno 1 come quinto e 1 come sesto numero della sequenza.

Riassumendo: \(59=1\cdot 2^5+1\cdot 2^4+1\cdot 2^3+0\cdot 2^2+1\cdot 2^1+1\cdot 2^0 =(111011)_2\).

Conversione di un numero da una base diversa da 10 a un’altra base diversa da 10

Scriviamo ad esempio il numero \((1023)_4\) in base 7. Per scrivere un numero da una base B a una base K entrambe diverse da 10 occorre:

  1. trasformare il numero in base B in un numero decimale attraverso la sua scrittura polinomiale;
    \[(1023)_4 =1\cdot 4^3 +0\cdot 4^2 +2\cdot 4^1 +3\cdot 4^0 =64+0+8+3=(75)_{10}\]
  2. trasformare il numero decimale nella base K attraverso i resti delle divisioni successive per K presi nell’ordine opposto a quello nel quale sono stati ottenuti.

Le trasformazioni eseguite sono quindi: \((1023)_4 \rightarrow (75)_{10} \rightarrow (135)_7\).

Conversione tra base 4, base 8, base 16 e base 2

Consideriamo il numero scritto in base 2 \((11010011100101)_2\). Vogliamo scriverlo in base 4, in base 8, in base 16 senza passare dalla sua scrittura in base 10. Notiamo che gruppi di due cifre in base 2 rappresentano tutte le cifre della base 4, gruppi di 3 cifre in base 2 rappresentano tutte le cifre della base 8 e gruppi di 4 cifre nella base 2 rappresentano tutte le cifre della base 16, come indicato nella seguente tabella.

Da base 2 a base 4

Dobbiamo raggruppare il numero scritto in base 2 in gruppi di due cifre, partendo da destra, e tradurre il valore di ogni singolo gruppo con la corrispondente cifra in base 4.

Da base 2 a base 8

Dobbiamo raggruppare il numero scritto in base 2 in gruppi di tre cifre, partendo da destra, e tradurre il valore di ogni singolo gruppo con la corrispondente cifra in base 8.

Da base 2 a base 16

Dobbiamo raggruppare il numero scritto in base 2 in gruppi di quattro cifre, partendo da destra, e tradurre il valore di ogni singolo gruppo con la corrispondente cifra in base 16.

Sistema binario: perché è importante la base 2?

Tutti gli strumenti elettronici che utilizziamo hanno bisogno di tradurre le informazioni che inseriamo in stati fisici della macchina. Dal punto di vista tecnico oggi usiamo dispositivi elettrici, magnetici, ottici che sono bistabili, ossia assumono due stati fisici differenti e il metodo più semplice e più efficiente per tradurre in “linguaggio macchina” le nostre informazioni è utilizzare la base 2: composta solo dai simboli 0 e 1. La base due è quindi l’alfabeto a disposizione delle macchine per comprendere e rispondere alle nostre richieste. Se si utilizzasse la base 10 dovremo far riconoscere dall’apparato dieci differenti simboli che dovrebbero essere tradotti in altrettanti stati differenti di dispositivi fisici.

A partire da questa informazione elementare detta bit (compressione dall’inglese di binary digit) è possibile costruire informazioni più complesse sotto forma di sequenze finite di zero e di uno. Attraverso la codifica binaria si è in grado di rappresentare caratteri, numeri, istruzioni di programmi ma anche immagini, suoni e video. Tutte le informazioni gestite da un computer sono quindi numeri in forma binaria.

Bibliografia

  1. Matematica C3, Algebra 1 – Codice ISBN: 9788896354803 – Editore: Matematicamente.it – Anno di edizione: 2015