Logaritmo

Si definisce logaritmo (dal greco lògos, ragione-rapporto, e arithmós, numero) quell’operatore matematico che definisce l’esponente \(x\) di un numero di partenza \(a\) (detto base) per ottenere un numero finale \(b\) (detto argomento).

Il logaritmo si indica in simboli come segue:

\[\log_a(b)=x\]

e si legge: il logaritmo in base \(a\) di \(b\), con \(a\neq 1\), è quel numero \(x\) tale per cui \(a\) elevato a \(x\) è uguale a \(b\).

\[a^x=b\]

I logaritmi furono introdotti all’inizio del XVII secolo quando il matematico scozzese Nepero pubblico le prime Tavole dei logaritmi (chiamate “tavole delle progressioni aritmetiche e geometriche“) utilizzando come base un’approssimazione del numero \(e\).

Il significato del termine “logaritmo”, introdotto da Nepero, identifica il numero (ovvero l’esponente) della ragione di una progressione geometrica. Infatti il logaritmo agisce come un trasformatore che fa sì che logaritmi dei termini di una progressione geometrica formino i termini di una progressione aritmetica.

La progressione geometrica si ottiene a partire dal numero 10 moltiplicando per 10, ovvero: \(10\rightarrow 10^2\rightarrow 10^3\rightarrow 10^4\rightarrow …\) eccetera.

La progressione aritmetica si ottiene da 1 addizionando 1, ovvero: \(1\rightarrow 2\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow …\) passando così ai logaritmi decimali.

Proprietà dei logaritmi

\[\log_{a}1=0\]

\[\log_{a}a=1\]

\[\log_{a}(m\cdot n)=\log_{a}m+\log_{a}n\]

\[\log_{a}\dfrac{{m}}{n}=\log_{a}m-\log_{a}n\]

\[\log_{a}m^{\alpha}=\alpha\cdot\log_{a}m\qquad\textrm{con}\,\alpha\in\mathbb{R}\]

Cambiamento di base

\[\log_{a}N=\dfrac{\log_{b}N}{\log_{b}a}\]

\[\log_{a}b=\dfrac{1}{\log_{b}a}\]