Impulso matematico (delta di Dirac)

Si definisce delta di Dirac o impulso matematico come quella funzione, indicata con \(\delta(t)\), dipendente da un parametro reale (generalmente il tempo \(t\)) tale che risulti nulla per tutti i valori di detto parametro ad eccezione dello zero.

In matematica, la funzione delta di Dirac (introdotta da Paul Dirac), anche detta impulso di Dirac, distribuzione di Dirac o funzione \(\delta(t)\), è una distribuzione la cui introduzione ha spianato la strada per lo studio della teoria delle distribuzioni.

Prima proprietà del Dirac

\[\int_{-\infty}^{+\infty} \delta_0(t)dt=1\]

Seconda proprietà del Dirac

\[\int_{a}^{b} \delta_0(t)dt=0\]

se \(0<a\leq b\) oppure \(a\leq b <0\)

Terza proprietà del Dirac

La terza proprietà del Dirac, detta anche “di simmetria” rispetto all’origine dei tempi o di invarianza rispetto al ribaltamento:

\[\delta_0(t)=\delta_0(-t)\]

Quarta proprietà del Dirac

\[\delta_0(\alpha t)=\dfrac{1}{\alpha}\delta_0(t)\]

per \(\alpha >0\). Di conseguenza si ha che:

\[\int_{-\infty}^{+\infty}\delta_0(\alpha t)dt=\dfrac{1}{\alpha}\]

mentre per \(\alpha <0\), avendo dimostrato l’invariabilità del Dirac rispetto al ribaltamento, si giunge facilmente a:

\[\delta_0(\alpha t)=\dfrac{1}{|\alpha|}\delta_0(t)\]

Quinta proprietà del Dirac

Considerando un Dirac centrato in un istante \(\tau\) invece che nell’origine, e pertanto sarà \(\delta_0(t-\tau)\), e moltiplicando tale Dirac per un segnale \(x(t)\) generico, si verifica che:

\[\delta_0(t-\tau)x(t)=\delta_0(t-\tau)x(\tau)\]

infatti, poiché il Dirac è sempre nullo eccetto nell’istante \(t=\tau\), l’unico valore del segnale \(x(t)\) che non si annulla nel prodotto è quello assunto nell’istante \(t=\tau\) stesso. Ciò significa che il segnale risultante dal prodotto tra il Dirac centrato in \(t=\tau\) ed il segnale \(x(t)\) altro non è che un Dirac di area \(x(\tau)\) centrato nel punto \(t=\tau\). Questa proprietà del Dirac viene detta anche proprietà di moltiplicazione.

Sesta proprietà del Dirac

Si consideri nuovamente il prodotto tra un Dirac centrato in \(t=\tau\) ed un qualsiasi segnale \(x(t)\), e si calcoli il seguente integrale:

\[\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\delta_0(t-\tau)dt\]

per la proprietà di moltiplicazione del Dirac si può scrivere:

\[\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\delta_0(t-\tau)dt=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)\delta_0(\tau-t)dt=x(t)\int_{-\infty}^{+\infty}\delta_0(\tau-t)dt=x(\tau)\]

ovvero essendo: \(\delta_0(\tau-t)\) si ha che:

\[\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\delta_0(t-\tau)dt=x(\tau)\]

Questa proprietà è anche detta proprietà del Dirac di campionamento, in sostanza, integrando il prodotto tra un Dirac centrato in \(t=\tau\) ed un qualunque segnale \(x(t)\), \(t\) che va da \(-\infty\) a \(+\infty\), si ottiene come risultato il valore che il segnale assume proprio nell’istante \(t=\tau\) (e quindi si ottiene un vero e proprio campionamento, ossia una lettura del valore del segnale in tale istante).