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Goniometria

La goniometria, dal greco γωνία (Gonia: angolo) e μέτρον (Metron: misura), studia la misurazione degli angoli mettendoli in relazione con gli archi corrispondenti.

Relazioni fondamentali della goniometria

Prima relazione fondamentale

\(\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha =1\)

Da questa si ricavano

\(\cos \alpha =\pm \sqrt{1-\sin^2\alpha }\)

\(\sin \alpha =\pm \sqrt{1-\cos^2\alpha }\)

Ricordare di valutare la posizione di \(\alpha\) per la scelta opportuna dei segni.

Seconda relazione fondamentale

\(\tan \alpha =\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha}\)

che vale solo per \(\alpha \neq \dfrac{\pi }{2}+k\pi\) con \(k\in \mathbb {Z}\).

Dalle definizione di \(\tan \alpha\) e dalla prima relazione fondamentale si ricava che:

\(\cos^2\alpha =\dfrac{1}{1+\tan^2\alpha }\)

che vale solo per \(\alpha \neq \dfrac{\pi }{2}+k\pi\) con \(k\in \mathbb{Z}\).

Da questa si ricava

\(\cos\alpha =\pm \dfrac{1}{\sqrt{1+\tan^2\alpha }}\)

Ricordare di valutare la posizione di \(\alpha\) per la scelta opportuna dei segni.

Terza relazione fondamentale

\(\cot \alpha =\dfrac {\cos \alpha }{\sin \alpha }\)

che vale solo per \(\alpha \neq k\pi\) con \(k\in \mathbb {Z}\).

Quarta relazione fondamentale

\(\sec \alpha =\dfrac{1}{\cos \alpha }\)

che vale solo per \(\alpha \neq \dfrac{\pi }{2}+k\pi\) con \(k\in \mathbb{Z}\).

Quinta relazione fondamentale

\(\csc \alpha =\dfrac{1}{\sin \alpha }\)

che vale solo per \(\alpha \neq k\pi \) con \(k\in \mathbb {Z}\).

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