Geometria

Figura geometrica

Una figura geometrica (anche detta forma geometrica) può definirsi come un insieme qualsiasi continuo di punti, caratterizzato da pertinenze quantitative e da pertinenze dimensionali.

Classificazione

Le figure geometriche possono essere classificate come segue:

  • figure geometriche piane (ogni punto della figura geometrica appartiene al piano)
  • figure geometriche solide (ogni punto della figura geometrica appartiene allo spazio a tre dimensioni)
  • figure geometriche degli iperspazi (ogni punto della figura geometrica appartiene ad uno degli iperspazi ad ndimensioni).

Geometria euclidea

Assiomi di Euclide

Euclide nei suoi Elementi aveva individuato un gruppo di cinque assiomi, che riguardano le nozioni comuni e quindi non fanno riferimento alla geometria, e un gruppo di cinque postulati che riguardano proprietà geometriche.

  1. Cose che sono uguali a una stessa cosa sono uguali anche tra loro.
  2. Se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità sono uguali.
  3. Se da cose uguali sono sottratte cose uguali, i resti sono uguali.
  4. Cose che coincidono fra loro sono uguali.
  5. Il tutto è maggiore della parte.

Postulati di Euclide

I cinque postulati di Euclide si enunciano come segue:

  1. Tra due punti ben distinti giacenti su di un piano passa una e una sola retta;
  2. Dato un segmento, è possibile prolungarlo oltre i suoi due punti estremi, indefinitamente;
  3. Dato il centro ed il raggio esiste uno ed un solo cerchio;
  4. Tutti gli angoli retti sono congruenti tra loro;
  5. Dato un punto esterno ad una retta (entrambi giacenti sullo stesso piano) esiste una ed una sola retta passante per quel punto e parallela alla retta data.

I postulati di Euclide definiscono:

  • l’esistenza degli enti geometrici: esistono infiniti punti, dunque esistono infinite rette;
  • l’appartenenza dei legami fra gli enti geometrici:
    • per un punto passano infinite rette;
    • per due punti distinti passa una sola retta;
    • dato un piano ed una retta, la retta divide il piano in due semipiani in modo tale che se prendiamo due punti nello stesso semipiano il segmento che li unisce non taglia la retta, mentre se prendiamo i due punti in semipiani opposti il segmento che li unisce taglia la retta;
  • l’uguaglianza; bisogna distinguere fra uguaglianza e congruenza, infatti due cose sono uguali se sono la stessa cosa, cioè se occupano lo stesso spazio nello stesso tempo. Diremo invece che due cose sono congruenti se sono uguali ma occupano spazi diversi nello stesso tempo, dunque:
    • tutti i punti sono fra loro congruenti;
    • tutte le rette sono fra loro congruenti;
  • l’ordine, ovvero danno il concetto di ordine sulla retta e nel piano:
    • data una retta e su di essa due punti distinti si può scegliere sulla retta un verso per cui il primo punto preceda il secondo ed il secondo segua il primo;
    • data una retta e su di essa due punti distinti esiste sempre un terzo punto che si trovi compreso fra il primo ed il secondo (in pratica significa che i punti su qualunque segmento di retta sono infiniti).

Storia della Geometria

Secondo una tradizione storica, durante il VI secolo a.C. alcuni matematici e pensatori greci (principalmente Talete e Pitagora) cominciarono a organizzare in maniera razionale (secondo il susseguirsi di ragionamenti logici) le conoscenze geometriche che egiziani e babilonesi avevano raggiunto nei secoli precedenti. Lo storico greco Erodoto, vissuto tra il 484 a.C. e il 425 a.C., racconta che a causa delle periodiche inondazioni del fiume Nilo gli egiziani erano costretti a ricostruire ogni anno i confini dei singoli possedimenti terrieri e in questo modo avevano sviluppato delle modalità tecniche per la misura della terra (γεωμετρία appunto).

Ritrovamenti più recenti di tavolette di creta del periodo babilonese incise con caratteri cuneiformi ci fanno ritenere che la cultura babilonese possedesse già delle sofisticate conoscenze geometriche. Di certo sappiamo che nel III secolo a.C. il matematico ellenico Euclide, direttore della grande biblioteca di Alessandria in Egitto, diede una struttura razionale alle conoscenze geometriche note sino ad allora scrivendo una delle più grandi opere della cultura occidentale, gli Elementi (in greco Στοιχεια).

Questa grande opera è organizzata in 13 libri, di cui i primi sei riguardano la Geometria Piana, i successivi quattro trattano i rapporti tra grandezze e gli ultimi tre riguardano la Geometria Solida. Essa prese il posto di tutti i libri precedenti sulla geometria e servì come testo fondamentale nell’antichità e nel medioevo; è stata usata come libro scolastico di geometria fino ai nostri giorni. La sua considerazione presso i Romani fu modesta, ma fu grandissima presso i Bizantini e gli Arabi. Proprio questi ultimi la reintrodussero in Europa dopo la perdita medievale, grazie alla traduzione di Adelardo di Bath (secolo XII).

Dal punto di vista della struttura logica, gli Elementi di Euclide sono organizzati a partire da cinque assiomi (nozioni comuni evidenti), cinque postulati (proposizioni che si richiede siano assunte come vere, senza dimostrazione) e 23 definizioni. L’opera di Euclide è rimasta nella nostra cultura l’unico punto di riferimento per lo studio della geometria, fino a quando, contestualmente allo studio dei fondamenti delle altre branche della matematica, i matematici cercarono di dare una base più rigorosa alla geometria di Euclide. Un’impostazione assiomatica più moderna venne data dal matematico tedesco David Hilbert nel libro Grundlagen der Geometrie (Fondamenti della geometria) pubblicato nel 1899, nel quale la geometria veniva fondata su ben 21 assiomi.

Lo spazio fisico e la geometria

La geometria nasce come studio sistematico dello spazio fisico e delle forme che in esso si muovono. Lo spazio in cui ci muoviamo è per tutti una delle prime esperienze che facciamo fin dai primi mesi di vita. I nostri sensi determinano le sensazioni che ci permettono di riconoscere le forme degli oggetti e i loro movimenti. Tuttavia, le nozioni geometriche come quelle di punto, retta, rettangolo, cubo, sfera . . . non trovano un perfetto riscontro nella realtà fisica. Nello spazio fisico non esistono, infatti, punti e rette come li descrive la geometria, né figure a due sole dimensioni, né cubi o sfere perfette. La geometria si propone quindi di fornire un “modello” ideale della realtà fisica, sia per le forme degli oggetti sia per le proprietà dello spazio.

Fino alla seconda metà dell’Ottocento, matematici e filosofi sono stati sostanzialmente d’accordo nel considerare la geometria come la scienza che descriveva razionalmente le proprietà dello spazio fisico. Galileo Galilei ne Il saggiatore (1623) scriveva:

La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l’universo), ma non si può intendere se prima non s’impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne’ quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.

A partire dalla seconda metà del XIX secolo, i matematici si sono invece convinti che la geometria non descrive esattamente lo spazio fisico, che sono possibili più geometrie ugualmente vere dal punto di vista logico e matematico. Lo studio matematico della geometria si è allora differenziato dallo studio dello spazio fisico e da quello dello spazio psicologico percepito dall’uomo con i suoi sensi. I matematici hanno accettato l’esistenza di diverse geometrie matematicamente possibili, si sono accontentati di costruire dei modelli astratti e hanno lasciato ai fisici la “scelta” del modello che meglio si adatta a descrivere i fenomeni fisici dall’infinitamente piccolo all’infinitamente grande. La geometria allora è diventata una branca della matematica alla quale i matematici hanno cercato di dare un fondamento esclusivamente logico, indipendente dalle esperienze fisiche.

Il legame tra fisica e matematica non si è mai rotto. Con il passare dei secoli, ci si è resi sempre più conto di quanto la “geometria” del mondo fisico sia molto complessa e di come alcune nuove geometrie riescono a descrivere meglio fenomeni che con la vecchia geometria di Euclide non si riusciva a spiegare.

Il metodo assiomatico, i concetti primitivi e le definizioni

La geometria, sin dai tempi di Euclide, è stata organizzata assiomaticamente, partendo cioè dalle fondamenta. Nella matematica queste fondamenta sono costituite dai concetti primitivi e dagli assiomi. Gli enti primitivi sono le nozioni che si decide di non definire. Ci si può rendere facilmente conto, infatti, che non tutto può essere definito, poiché in ogni nozione che si definisce si deve fare ricorso ad altre nozioni, le quali a loro volta devono essere definite per mezzo di altre nozioni e così via all’indietro senza che teoricamente questo processo abbia mai una fine, arrivando necessariamente ad alcune nozioni così primitive da non poter essere definite con altre nozioni più elementari.

A queste nozioni non è né necessario né possibile associare alcun significato esplicito; è invece fondamentale esprimere le loro proprietà esclusivamente attraverso assiomi, cioè attraverso proprietà non dimostrabili che indicano però come gli enti primitivi devono e possono essere usati. Il matematico Hilbert utilizza tre enti primitivi – punto, linea e piano – e 21 assiomi. A partire dagli enti primitivi si fanno derivare tutte le definizioni degli enti geometrici.

Bibliografia

  1. Matematica C3, Geometria Razionale – Codice ISBN: 9788896354797 – Editore: Matematicamente.it – Anno di edizione: 2015