Frazione

L’insieme dei numeri razionali, indicato con \(\mathbb{Q}\), comprende tutti quei numeri esprimibili come rapporto tra due numeri interi, ossia attraverso una frazione numerica.

Una frazione è una coppia ordinata di numeri in cui il primo si chiama numeratore (\(a\)) e il secondo denominatore (\(b\)). Il denominatore per definizione deve essere diverso da zero \(b\neq 0\), in quanto indica in quante parti deve essere diviso il numeratore, per cui non ha senso dividere in zero parti.

\[\dfrac{a}{b}\]

Il segno del numero razionale relativo è quello che si ottiene dalla regola della divisione dei segni tra numeratore e denominatore.

\[\dfrac{-a}{-b}=+\dfrac{a}{b}\qquad\dfrac{+a}{-b}=-\dfrac{a}{b}\qquad\dfrac{-a}{+b}=-\dfrac{a}{b}\]

I numeri reali che non sono razionali sono detti irrazionali. Ad esempio, sono irrazionali i seguenti: \(\sqrt{2}\), \(e\), \(\pi\).

La scrittura dei numeri razionali

I numeri razionali, rappresentati come frazioni, possono essere scritti come numeri decimali: basta fare la divisione tra numeratore e denominatore, il quoziente ottenuto è la rappresentazione della frazione sotto forma decimale.

I numeri decimali che si ottengono sono di due tipi: numeri decimali finiti come \(1,375\) e numeri decimali periodici come \(0,333 3…\); quest’ultimo si scrive mettendo una barra sulla parte periodica: \(0,\overline{3}\) oppure racchiudendo la parte periodica tra parentesi tonde 0,(3).

I numeri decimali finiti si ottengono dalle frazioni il cui denominatore ha come fattori solo il 2, solo il 5 o entrambi, eventualmente elevati a una potenza.

I numeri decimali periodici semplici si ottengono dalle frazioni il cui denominatore non ha per fattori né 2 né 5.

I numeri decimali periodici misti si ottengono dalle frazioni il cui denominatore contiene altri fattori oltre al 2 e al 5.

Trasformare una frazione in numero decimale:

  1. eseguire la divisione tra numeratore e denominatore;
  2. se la divisione ha un resto mettere la virgola al quoziente e moltiplicare per 10 il resto;
  3. continuare la divisione finché il resto è 0 oppure è uguale ad un valore già trovato prima;
  4. se la divisione si conclude con resto 0 si ha un numero decimale finito;
  5. se la divisione si conclude perché si è ritrovato un resto ottenuto in precedenza si ha un numero decimale periodico.

Trasformare un numero decimale finito in una frazione:

  1. contare le cifre significative dopo la virgola;
  2. moltiplicare numeratore e denominatore per la potenza del 10 che ha esponente uguale al numero delle cifre significative dopo la virgola.

Per facilitare questa operazione possiamo considerare i numeri decimali finiti come frazioni particolari che hanno il numeratore uguale al numero decimale e il denominatore uguale a 1. Ad esempio, il numero 1,360 ha due cifre significative dopo la virgola, quindi:

\[\dfrac{1,36}{1}=\dfrac{1,36\cdot 10^2}{1\cdot 10^2}=\dfrac{136}{100}=\dfrac{34}{25}\]

Determinare la frazione generatrice di un numero periodico:

  1. scrivere il numero senza la virgola;
  2. il numeratore della frazione si ottiene sottraendo dal numero senza la virgola il numero costituito dalle cifre che precedono il periodo;
  3. il denominatore della frazione si ottiene scrivendo tanti 9 quante sono le cifre del periodo e tanti 0 quante sono le eventuali cifre dell’antiperiodo.

Ad esempio, se dobbiamo trasformare il seguente numero periodico \(2,5\overline{12}\) nella sua frazione equivalente:

  1. scrivo il numero senza la virgola \(2,5\overline{12}\rightarrow 2512\);
  2. determino il numeratore della frazione \(2512 − 25 = 2487\);
  3. determino il denominatore della frazione (990). In definitiva:

\[2,5\overline{12}=\dfrac{2512-25}{990}=\dfrac{2487}{990}\]

Operazioni con i numeri razionali

Con i numeri razionali è sempre possibile eseguire le addizioni, le moltiplicazioni, le sottrazioni e le divisioni. In altre parole, poiché un numero razionale può essere scritto sotto forma di frazione, se si addizionano, si moltiplicano, si sottraggono, si dividono due frazioni il risultato è sempre una frazione.

Addizione e sottrazione tra frazioni

La somma (o la differenza) di due frazioni con lo stesso denominatore è una frazione che ha per denominatore lo stesso denominatore delle frazioni date e per numeratore la somma dei numeratori. Altrimenti, se il denominatore è diverso, si procede come segue:

  1. ridurre le frazioni ai minimi termini;
  2. calcolare il mcm dei denominatori;
  3. mettere il mcm come denominatore della frazione somma;
  4. per ogni frazione dividere il mcm per il suo denominatore e moltiplicare il risultato per il numeratore della frazione mantenendo il segno;
  5. calcolare la somma algebrica di tutti i numeri trovati;
  6. mettere la somma ottenuta come numeratore della frazione somma;
  7. ridurre ai minimi termini la frazione ottenuta.

Dunque, se due frazioni hanno la stessa unità frazionaria allora è sufficiente sommare i numeratori delle frazioni e prendere come denominatore l’unità frazionaria comune.

\[\dfrac{5}{3}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{5+2}{3}=\dfrac{7}{3}\]

Avendo denominatori diversi, invece:

\[\dfrac{8}{12}+\dfrac{5}{6}+\dfrac{8}{5}-1=\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{6}+\dfrac{8}{5}-1=…\]

il m.c.m. tra 3, 6, 5 e 1 è 30, quindi per ogni frazione divido il m.c.m. per il suo denominatore e moltiplico il risultato per il numeratore:

\[\dfrac{2\cdot (30:3)-5\cdot (30:6)+8\cdot (30:5)-1\cdot (30:1)}{30}=\dfrac{2\cdot 10-5\cdot 5 + 8\cdot 6 -1\cdot 30}{30}=\dfrac{13}{30}\]

Moltiplicazione

Il prodotto di due frazioni è una frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori.

\[\dfrac{n_1}{d_1}\cdot \dfrac{n_2}{d_2}=\dfrac{n_1n_2}{d_1d_2}\]

Data una frazione \(\dfrac{n}{d}\) si definisce il suo inverso o reciproco quella frazione \(\dfrac{d}{n}\) tale che il loro prodotto sia l’elemento neutro 1, cioè:

\[\dfrac{n}{d}\cdot \dfrac{d}{n}=1\]

Divisione

La divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione. Dato che nell’insieme dei numeri razionali esiste sempre l’inverso di una frazione rispetto alla moltiplicazione, esclusa la frazione zero, si può sempre eseguire la divisione di due qualsiasi frazioni.

\[\dfrac{n_1}{d_1}:\dfrac{n_2}{d_2}=\dfrac{\dfrac{n_1}{d_1}}{\dfrac{n_2}{d_2}}=\dfrac{n_1\cdot d_2}{d_1\cdot n_2}\]

Il quoziente di due frazioni è la frazione che si ottiene moltiplicando la prima frazione per l’inverso della seconda frazione.

Potenza di una frazione

Come per ogni numero, anche per le frazioni, la potenza di una frazione non è altro che un prodotto di tante frazioni identiche alla frazione data quanto è il valore dell’esponente, pertanto si trova elevando il numeratore e il denominatore della frazione all’esponente della potenza.

\[\left( \dfrac{n}{d} \right)^x=\dfrac{n}{d}\cdot \dfrac{n}{d}\cdot \dfrac{n}{d}\cdot…\cdot x\textrm{-volte}=\dfrac{n^x}{d^x}\]

Per gli altri casi, consultare le proprietà delle potenze.

Tipologie e classificazione delle frazioni

Frazioni proprie

Si dicono proprie le frazioni che hanno il numeratore minore del denominatore (\(a<b\)). Esse rappresentano sempre una grandezza minore dell’intero.

Le frazioni proprie, che hanno numeratore minore del denominatore, rappresentano sempre un numero compreso tra 0 e 1.

Frazioni improprie

Si chiamano improprie le frazioni che hanno il numeratore maggiore del denominatore (\(a>b\)); esse rappresentano una grandezza maggiore della grandezza assegnata come intero.

Le frazioni improprie, che hanno numeratore maggiore del denominatore, si possono scrivere come somma di un numero naturale e di una frazione propria:

  • il numero naturale è il risultato della divisione intera tra numeratore e denominatore;
  • il numeratore della frazione propria è il resto della divisione tra numeratore e denominatore;
  • il denominatore della frazione propria è il denominatore stesso della frazione.

Frazioni equivalenti

Si dicono equivalenti quelle frazioni per cui se si moltiplica, o si divide, numeratore e denominatore di una frazione per uno stesso numero diverso da zero si ottiene una frazione equivalente alla frazione data.

Ad esempio per trovare la frazione equivalente di \(\dfrac{3}{4}\) è sufficiente moltiplicare numeratore e denominatore per 2:

\[\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{2}{2}=\dfrac{6}{8}\]

dunque \(\dfrac{6}{8}\) è la frazione equivalente di \(\dfrac{3}{4}\).

Riduzione ai minimi termini di una frazione

Una frazione si dice ridotta ai minimi termini se il numeratore e il denominatore sono due numeri interi primi tra loro.

Per ridurre ai minimi termini una frazione occorre dividere numeratore e denominatore per il loro Massimo Comune Divisore.

Per esempio per ridurre ai minimi termini la frazione \(\dfrac{6}{8}\), scompongo in fattori 6 e 8, ottenendo \(6=2\cdot 3\) e \(8=2^3\). Calcolo il MCD prendendo i fattori comuni con l’esponente più piccolo; in questo caso il 2, e divido numeratore e denominatore per 2:

\[\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}\]

Frazioni apparenti

Si chiamano apparenti le frazioni che hanno il numeratore che è un multiplo del denominatore; esse rappresentano una grandezza multipla di quella presa come intero unitario.

Bibliografia

  1. Matematica C3, Algebra 1 – Codice ISBN: 9788896354803 – Editore: Matematicamente.it – Anno di edizione: 2015