Disequazioni

Le disequazioni, al contrario delle equazioni, sono delle disuguaglianze tra monomi, o polinomi, per la quale si cerca la soluzione (valore numerico) di una o più variabili letterali, chiamate incognite (come per le equazioni).

Esercizi svolti e commentati passo-passo sulle disequazioni

Determinare l’insieme delle soluzioni delle seguenti disequazioni.

Esercizio 1

\(\dfrac{1+3x}{3}-\dfrac{1}{4}(x-1)<\dfrac{x+6}{6}-\dfrac{1}{3}\)

risolviamo le parentesi e semplifichiamo la disequazione

\(\dfrac{1}{3}+x-\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{4}<\dfrac{x}{6}+1-\dfrac{1}{3}\)

portiamo a sinistra della disuguaglianza tutti i termini con l’incognita \(x\) e a destra tutto il resto

\(x-\dfrac{1}{4}x-\dfrac{x}{6}<1-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\)

quindi svolgiamo il minimo comune multiplo, risolviamo e semplifichiamo

\(\dfrac{12x-3x-2x}{12}<\dfrac{12-4-4-3}{12}\)

\(x<\dfrac{1}{7}\) quindi la soluzione della disequazione è: \(S=\left(-\infty, \dfrac{1}{7}\right)\)

Esercizio 2

\((x+5)^2-(x-1)(2x+1)>13(x+2)\)

risolviamo le parentesi e semplifichiamo la disequazione

\(x^2+25+10x-2x^2-x+2x+1>13x+26\)

\(-x^2-2x>0\) ora studiamo le soluzioni

\(-x(x+2)>0\left\{\begin{matrix}
-x>0 & \rightarrow & x<0\\
x+2>0 & \rightarrow & x>-2
\end{matrix}\right.\)

Quindi: \(-2<x<0\)

Esercizio 3

\(x^2-10x+26>0\)

\(x_{1/2}=\dfrac{10\pm\sqrt{10^2-104}}{2}\)

essendo \(\Delta <0\) la seguente disequazione è impossibile, pertanto \(\forall x\in\mathbb{R}\)

Esercizio 4

\((3-4x)(x^2+x+1)\leq 0\)

studio separatamente primo e secondo fattore:

  1. \(3-4x\geq 0 \rightarrow x\geq\dfrac{3}{4}\)
  2. \(x^2+x+1\geq 0 \rightarrow x_{1/2}=\dfrac{-1\pm\sqrt{1-4}}{2}\) essendo \(\Delta <0\) la disequazione è impossibile, pertanto \(\forall x\in\mathbb{R}\)

Dunque le soluzioni della disequazione proposta sono: \(S=\left[\dfrac{3}{4},+\infty\right)\)

Esercizio 5

Determinare l’insieme delle soluzioni della seguente disequazione fratta

\(\dfrac{x-2}{2}>\dfrac{3}{x-1}\)

studio per prima cosa: \(x-1>0 \rightarrow x>1\); successivamente porto a tutto a primo membro ed eseguo il minimo comune multiplo

\(\dfrac{x-2}{2}-\dfrac{3}{x-1}>0\)

\(\dfrac{(x-2)(x-1)-6}{2(x-1)}>0\)

\(x^2-x-2x-2-6>0\rightarrow x^2-3x-4>0\)

\(x_{1/2}=\dfrac{3\pm\sqrt{9+16}}{2}=\left\{\begin{matrix}
4\\
\\
-1
\end{matrix}\right.\)

quindi le soluzioni dell’equazione sono: \(S=-1<x<1\wedge (4,+\infty)\)

Esercizio 6

\(1-\dfrac{6}{1-4x^2}>\dfrac{2}{2x-1}-\dfrac{3}{2x+1}\)

guardando i denominatori noto che:

  • \(1-4x^2>0\rightarrow 4x^2<1\rightarrow x^2<\dfrac{1}{4}=\left\{\begin{matrix}
    x<0 \\
    x<\dfrac{1}{2}
    \end{matrix}\right.\)
  • \(2x-1>0\rightarrow x>\dfrac{1}{2}\)
  • \(2x+1>0\rightarrow x>-\dfrac{1}{2}\)

pertanto le soluzioni della disequazione fratta sono: \(S=-\dfrac{1}{2}<x<0\wedge \left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)\)

Esercizi svolti e commentati passo-passo sulle disequazioni irrazionali

Esercizio 1

\(\sqrt{2x+1}\geq 3\)

le soluzioni della disequazione irrazionale sono:

\((\sqrt{2x+1})^2\geq 3^2\)

\(2x+1\geq 9\rightarrow x\geq 4\)

quindi: \(S=[4,+\infty)\)

Esercizi svolti e commentati passo-passo su i sistemi di disequazioni

Esercizio 1

\(\left\{\begin{matrix}
\dfrac{x-1}{3}+\dfrac{x-2}{2}<2 \\
\\
x-\dfrac{3-x}{2}\geq 1
\end{matrix}\right.\)

risolvo ed eseguo il minimo comune multiplo delle rispettive disequazioni a sistema

\(\left\{\begin{matrix}
\dfrac{2(x-1)+3(x-2)-12}{6}<0 \\
\\
\dfrac{2x-3+x-2}{2}\geq 0
\end{matrix}\right.\)

quindi…

\(\left\{\begin{matrix}
5x<20 & \rightarrow & x<4 \\
\\
\dfrac{3x}{2}\geq \dfrac{5}{2} & \rightarrow & x\geq\dfrac{5}{3}
\end{matrix}\right.\)

pertanto le soluzioni del sistema sono: \(\dfrac{5}{3}\leq x<4\) ovvero \(S=\left[\dfrac{5}{3},4\right)\)

Esercizio 2

\(\left\{\begin{matrix}
(5x+1)^2>10x+1 \\
\\
x^2+x\sqrt{2}\leq 2(x+\sqrt{2})
\end{matrix}\right.\)

risolvo le parentesi e semplifico le disequazioni

\(\left\{\begin{matrix}
25x^2+10x+1>10x+1\\
\\
x^2+x\sqrt{2}\leq 2x+2\sqrt{2}
\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}
25x^2>0 & \rightarrow & x^2>0\\
\\
x^2+x\sqrt{2}-2x-2\sqrt{2}\leq 0
\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}
x^2>0 & \rightarrow & \forall x\neq 0\\
\\
x(x+\sqrt{2})-2(x+\sqrt{2})\leq 0 & \rightarrow & (x-2)(x+\sqrt{2})\leq 0
\end{matrix}\right.\)

quindi le soluzioni sono:

  • \(\forall x\neq 0\)
  • \(x-2\leq 0 \rightarrow x\leq 2\)
  • \(x+\sqrt{2}\leq 0 \rightarrow x\leq -\sqrt{2}\)

quindi \(S=[-\sqrt{2},0)\cup (0,2]\)