Circonferenza

Circonferenza goniometrica

La circonferenza goniometrica, detta anche circonferenza trigonometrica o circonferenza unitaria (ovvero di raggio pari ad 1), è una figura fondamentale centrata nell’origine del piano cartesiano che permette di definire le funzioni trigonometriche di seno, coseno, tangente e cotangente, ed inoltre, consente anche di definire gli angoli con ampiezze maggiori di 360° e minori di 0°. Mediante la circonferenza goniometrica è possibile disegnare un angolo qualsiasi e stabilire una corrispondenza del tipo angolo-punto appartenente alla circonferenza.

La goniometria ha come oggetto di studio la misurazione degli angoli piani in relazione con le lunghezze di segmenti (archi corrispondenti) attraverso funzioni goniometriche definite a partire dalla circonferenza goniometrica.

Le cinque relazioni fondamentali della Goniometria

Considerando una circonferenza goniometrica e un angolo orientato \(\alpha\) studiamo le cinque relazioni fondamentali della Goniometria.

Prima relazione fondamentale

\[\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1\]

Da questa si ricavano:

\[\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}\]

\[\sin\alpha=\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}\]

Ricordare di valutare la posizione di \(\alpha\) per la scelta opportuna dei segni.

Seconda relazione fondamentale

\[\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\]

che vale solo per \(\alpha \neq \dfrac{\pi}2+k\pi\) con \(k \in \mathbb{Z}\).

Dalle due precedenti relazioni si ricava che:

\[\cos^2\alpha=\dfrac{1}{1+\tan^2\alpha}\]

che vale solo per \(\alpha \neq \dfrac{\pi}2+k\pi\) con \(k \in \mathbb{Z}\).

Da questa si ricava:

\[\cos\alpha=\pm\dfrac{1}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}\]

Ricordare di valutare la posizione di \(\alpha\) per la scelta opportuna dei segni.

Terza relazione fondamentale

\[\cot\alpha=\dfrac{\cos \alpha}{\sin\alpha}\]

che vale solo per \(\alpha \neq k\pi\) con \(k \in \mathbb{Z}\).

Quarta relazione fondamentale

\[\sec\alpha=\dfrac{1}{\cos\alpha}\]

che vale solo per \(\alpha \neq \dfrac{\pi}2+k\pi\) con \(k \in \mathbb{Z}\).

Quinta relazione fondamentale

\[\csc\alpha=\dfrac{1}{\sin\alpha}\]

che vale solo per \(\alpha \neq k\pi\) con \(k \in \mathbb{Z}\).

Formule goniometriche

Formule di addizione e sottrazione

Le “formule di addizione e sottrazione” permettono di trasformare le funzioni trigonometriche della somma o differenza di due angoli in un’espressione composta da funzioni trigonometriche dei due angoli.

Formule di addizione

\(\sin(\alpha + \beta)=\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta \)

\(\cos(\alpha + \beta)=\cos\alpha \cos\beta – \sin\alpha \sin\beta \)

\(\tan(\alpha + \beta)=\dfrac {\tan\alpha + \tan\beta} {1 – \tan\alpha \tan\beta}\)

\(\cot(\alpha + \beta)=\dfrac {\cot\alpha \cot\beta – 1} {\cot\alpha + \cot\beta}\)

La formula della tangente vale per \(\alpha, \beta, \alpha+\beta \neq \dfrac\pi 2 +k\pi \) con \(k \in \mathbb{Z} \)

La formula della cotangente vale per \(\alpha, \beta, \alpha+\beta \neq k\pi \) con \(k \in \mathbb{Z} \)

Formule di sottrazione

\(\sin(\alpha – \beta)=\sin\alpha \cos\beta – \cos\alpha \, \sin\beta \)

\(\cos(\alpha – \beta)=\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta \)

\(\tan(\alpha – \beta)=\dfrac {\tan\alpha – \tan\beta} {1 + \tan\alpha \tan\beta}\)

\(\cot(\alpha – \beta)=\dfrac {\cot\alpha \cot\beta + 1} {\cot\beta – \cot\alpha}\)

La formula della tangente vale per \(\alpha, \beta, \alpha-\beta \neq \dfrac\pi 2 +k\pi \) con \(k \in \mathbb{Z}\)

La formula della cotangente vale per \(\alpha, \beta, \alpha-\beta \neq k\pi \) con \(k \in \mathbb{Z}\)

Formule di duplicazione

\(\sin(2\alpha)=2\sin\alpha \cos\alpha \)

\(\cos(2\alpha)=\cos^2\alpha – \sin^2\alpha = 1 – 2\sin^{2}\alpha = 2\cos^{2}\alpha – 1\)

\(\tan(2\alpha)=\dfrac{2\tan\alpha}{1 – \tan^2\alpha}\)

L’ultima formula vale per \(\alpha\neq \dfrac\pi 2 +k\pi\) e \(\alpha\neq \pm\dfrac\pi 4+ k \pi \) con \(k \in \mathbb{Z}\)

Formule di linearità

\(\cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos(2\alpha)}{2} \)

\(\sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos(2\alpha)}{2} \)

\(\tan^2\alpha=\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\dfrac{1-\cos(2\alpha)}{1+\cos(2\alpha)}\)

L’ultima formula vale per \(\alpha\neq \dfrac\pi 2 +k\pi \) con \(k \in \mathbb{Z}\)

Formule di bisezione

Attenzione: è necessario valutare in quale quadrante cade \(\dfrac{\alpha}{2}\) per poter scegliere i segni opportuni delle seguenti formule:

\(\cos\left(\dfrac{\alpha} 2\right)=\pm\sqrt{\dfrac{1+\cos\alpha}{2} }\)

\(\sin\left(\dfrac{\alpha} 2\right)=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{2} } \)

\(\tan\left(\dfrac{\alpha} 2\right)=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}\)

L’ultima formula vale per \(\alpha\neq \pi+2k\pi\).

Formule parametriche

\(\cos\alpha=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\)

\(\sin\alpha=\dfrac{2t}{1+t^2}\)

\(\tan\alpha=\dfrac{2t}{1-t^2}\)

dove \(t=\tan\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\) con \(\alpha\neq \pi+2k\pi\)

Formule di prostaferesi

\(\sin p+\sin q=2\sin \left(\dfrac{p+q}{2}\right)\cos \left(\dfrac{p-q}{2}\right)\)

\(\sin p-\sin q=2\cos \left(\dfrac{p+q}{2}\right)\sin \left(\dfrac{p-q}{2}\right)\)

\(\cos p+\cos q=2\cos \left(\dfrac{p+q}{2}\right)\cos \left(\dfrac{p-q}{2}\right)\)

\(\cos p-\cos q=-2\sin \left(\dfrac{p+q}{2}\right)\sin \left(\dfrac{p-q}{2}\right)\)

Le formule di prostaferesi trasformano somme di funzioni goniometriche in prodotti.

Formule di Werner (inverse delle formule di prostaferesi)

\(\sin\alpha\cos\beta=\dfrac {1}{2} \left[ \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\right]\)

\(\cos\alpha\cos\beta=\dfrac {1}{2} \left[ \cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)\right]\)

\(\sin\alpha\sin\beta=-\dfrac {1}{2} \left[ \cos(\alpha+\beta) – \cos(\alpha-\beta)\right]\)

Le formule di Werner trasformano prodotti di funzioni goniometriche in somme.