Angolo

In Matematica, ed in particolare in Geometria, viene definito angolo (o più esattamente angolo piano), quella regione di un piano compresa tra due semirette aventi la stessa origine. Analogamente, nello spazio tridimensionale, si parla di angolo solido. L’origine delle semirette che delimitano l’angolo è chiamato vertice dell’angolo, mentre le semirette stesse vengono chiamate lati dell’angolo.

Classificazione degli angoli

Angolo concavo e convesso

Un angolo può essere concavo se la regione del piano contiene i prolungamenti delle due semirette, oppure convesso se la porzione di piano non contiene i prolungamenti delle semirette che dividono il piano.

L’ampiezza in gradi di un angolo concavo è compresa tra 180° (escluso, infatti l’angolo piatto non è né concavo né convesso) e 360° (incluso). Mentre l’ampiezza in gradi di un angolo convesso è compresa tra 180° (escluso) e 0° (incluso).

Angolo piatto

Un angolo è detto piatto quando i suoi due lati sono due semirette opposte tali dunque da formare un’apertura di 180°.

Angolo giro

Un angolo è detto giro quando la regione di piano delimitata da i suoi due lati coincide con il piano stesso (le due semirette sono coincidenti, tali dunque da formare un’apertura di 360°).

Angolo nullo

Un angolo è detto nullo quando le due semirette che delimitano i lati dell’angolo coincidono ma non comprendono altri punti oltre quelli dei lati dell’angolo stesso (ovvero l’apertura è di 0°).

Angoli associati

In goniometria, si definiscono angoli associati quelle coppie di angoli che possiedono particolari relazioni tra le loro funzioni goniometriche. Nella circonferenza goniometrica chiamiamo angoli associati gli angoli \(\alpha\), \(\pi-\alpha\), \(\pi+\alpha\) e \(2\pi-\alpha\). Tali angoli hanno in valore assoluto stesso seno e stesso coseno.

Formule degli angoli associati del secondo quadrante

\(\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\)

\(\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\)

\(\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha\)

Formule degli angoli associati del terzo quadrante

\(\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha\)

\(\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha\)

\(\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha\)

Formule degli angoli associati al quarto quadrante

\(\cos(2\pi-\alpha)=\cos\alpha\)

\(\sin(2\pi-\alpha)=-\sin\alpha\)

\(\tan(2\pi-\alpha)=-\tan\alpha\)

Formule degli angoli che differiscono di un angolo retto

\(\cos\left(\dfrac{\pi}2+\alpha\right)=-\sin\alpha\)

\(\sin\left(\dfrac{\pi}2+\alpha\right)=\cos\alpha\)

\(\tan\left(\dfrac{\pi}2+\alpha\right)=-\cot\alpha\)

Tipologie di angoli associati

  • Sono angoli associati per ampiezza:
    • angoli complementari
    • angoli supplementari
    • angoli esplementari
  • Sono angoli associati per posizione:
    • angoli opposti al vertice
    • angoli consecutivi
    • angoli adiacenti
  • Sono angoli associati rispetto a due rette tagliate trasversalmente:
    • angoli alterni
    • angoli coniugati
    • angoli corrispondenti

Angoli complementari

In geometria, si definiscono complementari quelle coppie di angoli la cui ampiezza è tale che, se sommati, permettono di ottenere un angolo retto.

Da questa definizione segue che due angoli complementari devono essere entrambi acuti e che ha senso attribuire un complementare solo a un angolo acuto.

Formule degli angoli complementari

La funzione seno dell’angolo complementare di un angolo dato è la funzione coseno dell’angolo dato (e viceversa).

\[\sin\left(\dfrac{\pi}2-\alpha\right)=\cos\alpha\]

\[\cos\left(\dfrac{\pi}2-\alpha\right)=\sin\alpha\]

La funzione tangente dell’angolo complementare di un angolo dato è la funzione cotangente dell’angolo dato.

\[\tan\left(\dfrac{\pi}2-\alpha\right)=\cot\alpha\]

La funzione secante dell’angolo complementare di un angolo dato è la funzione cosecante dell’angolo dato.

Angoli supplementari

In geometria, si definiscono supplementari quelle coppie di angoli la cui ampiezza è tale che, se sommati, permettono di ottenere un angolo piatto. Da questa definizione segue che ogni supplementare di un angolo acuto è un angolo ottuso e viceversa, mentre ogni supplementare di un angolo retto è anch’esso un angolo retto. Quando due angoli supplementari sono anche consecutivi, cioè hanno in comune solo una semiretta, vengono detti anche angoli adiacenti.

Angoli esplementari

In geometria, si definiscono esplementari quelle coppie di angoli la cui ampiezza è tale che, se sommati, permettono di ottenere un angolo giro. Ne segue che ogni esplementare di un angolo concavo è un angolo convesso e viceversa, mentre ogni esplementare di un angolo piatto è anch’esso piatto.

Angoli opposti

Gli angoli opposti al vertice sono angoli non consecutivi fra i quattro angoli formati da due rette che si intersecano. Hanno il vertice in comune ed i lati di uno di essi, sono i prolungamenti dei lati dell’altro. Due angoli opposti al vertice sono congruenti e hanno quindi la stessa ampiezza.

Angoli congruenti

Si definiscono angoli congruenti (detti anche, impropiamente, angoli uguali) quegli angoli che hanno uguale ampiezza (isometrici).

Formule degli angoli opposti

\(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\)

\(\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\)

\(\tan(-\alpha)=-\tan\alpha\)

Si dice che \(\cos\alpha\) è una funzione pari, mentre \(\sin\alpha\) e \(\tan\alpha\) sono dispari.

Angoli consecutivi

Due angoli che hanno in comune solamente il vertice ed un lato (o semplicemente una semiretta), e giacciono nei due semipiani opposti rispetto al lato in comune si dicono angoli consecutivi.

Angoli adiacenti

Una coppia di angoli consecutivi hanno le semirette non in comune opposte (cioè la loro unione è una retta) allora si dicono angoli adiacenti. Due angoli adiacenti sono anche supplementari in quanto la loro somma forma un angolo piatto.

Angoli alterni

Si definiscono angoli alterni due angoli non contigui situati sui due semipiani diversi.

Angoli coniugati

Si definiscono angoli coniugati due angoli non contigui disposti sullo stesso semipiano.

Angoli corrispondenti

Si definiscono angoli corrispondenti due angoli coniugati in comune ai vertici i semipiani originati dalle rette ma non reciprocamente; il che significa che solo uno degli angoli sarà contemporaneamente intersezione dei tre semipiani.

Metodo dell’angolo aggiunto

Il metodo dell’angolo aggiunto è uno dei metodi utilizzabili per risolvere le equazioni goniometriche lineari attraverso l’applicazione delle formule di addizione e sottrazione.

\[a \sin x +b \cos x = A \sin(x+\phi)\]

oppure:

\[a \sin x +b \cos x = A \cos(x+\phi)\]

L’angolo \(\phi\) è detto angolo aggiunto. La seguente uguaglianza è verificata sotto le seguenti condizioni:

\[A=\sqrt{a^2+b^2}\]

\[\begin{cases} \cos \phi = \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\
\sin \phi = \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{cases}\]

\[\tan \phi = \dfrac{b}{a}\]

Fare attenzione al fatto che la tangente goniometrica è periodica di 180° e dunque bisogna valutare preventivamente la posizione dell’angolo aggiunto \(\phi\) dunque:

\[\phi = \begin{cases} \arctan\left(\dfrac{b}{a}\right) &\mbox{se } a>0 \\
\arctan\left(\dfrac{b}{a}\right)+\pi &\mbox{se } a<0 \end{cases}\]