Algebra

L’Algebra è una delle branche fondamentali della Matematica volta allo studio e all’estensione dei procedimenti aritmetici su i numeri e le quantità variabili. Il termine algebra (dall’arabo الجبر, al-ǧabr che significa “unione”, “connessione” o “completamento”, ma anche “aggiustare”) deriva dal libro del matematico persiano Muḥammad ibn Mūsā al-Khuwārizmī, intitolato Al-kitāb al-muḫtaṣar fī ḥīsāb al-ǧabr wa l-muqābala (“Compendio sul calcolo per completamento e bilanciamento”), conosciuto anche nella forma breve Al-kitāb al-ǧabr wa l-muqābala, che tratta la risoluzione delle equazioni di primo e di secondo grado.

Ciò che distingue l’algebra in modo essenziale dall’aritmetica e dalla geometria è il fatto che il suo oggetto non consiste nel trovare proprio i valori delle quantità cercate, ma nell’individuare il sistema delle operazioni da eseguire sulle quantità date per derivarne le quantità cercate, secondo le condizioni del problema. La sequenza di tali operazioni è quello che in algebra si chiama una formula; quando una quantità dipende da altre in modo che sia possibile esprimerla con una formula che contiene queste ultime, si dice allora che essa è funzione di tali quantità. Dunque si può definire l’algebra come l’arte di determinare le incognite come funzioni di quantità note o che si considerano tali.

Joseph-Louis Lagrange

Settori di applicazione dell’algebra

Algebra elementare

L’algebra elementare studia il calcolo letterale, cioè studia i monomi e i polinomi ed estende ad essi le operazioni aritmetiche, dette in questo contesto operazioni algebriche.

Algebra astratta

L’algebra astratta è basata sulla teoria degli insiemi; si occupa dello studio delle strutture algebriche (cioè di insiemi in cui sono definite una o più operazioni e delle relative proprietà) come gruppi, anelli e campi. Essa parte dallo studio degli “insiemi privi di struttura” (o insiemistica vera e propria), per analizzare insiemi via via sempre più strutturati, cioè dotati di una o più leggi di composizione.

Algebra di Boole

L’algebra di Boole è un sistema di logica matematica a due stati, che permette di effettuare un calcolo algebrico che ha come oggetto non i numeri, ma i valori di verità di enunciati; ossia dove le variabili (dette variabili booleane) possono assumere solo due stati: vero (1) o falso (0).

Algebra di Lie

L’algebra di Lie (che prende il nome da Sophus Lie) è una struttura algebrica usata principalmente per lo studio di oggetti geometrico analitici come i gruppi di Lie e le varietà differenziabili.

Algebra lineare

L’algebra lineare si occupa dello studio degli spazi vettoriali e delle trasformazioni lineari. Viene applicata anche per studiare le equazioni lineari, cioè le equazioni omogenee di primo grado. Le applicazioni dell’algebra lineare sono di importanza fondamentale in fisica, in molte branche (anche non algebriche) della matematica e in altre discipline scientifiche.

Storia dell’algebra

Pagina di Algebra di al-Khwarizmi.
Pagina di Algebra (al-giabr) di al-Khwarizmi.

La parola al-giabr è stata usata per la prima volta nel significato matematico nel Kitā b («libro») al-giabr wa l-muqābala di Muḥammad ibn Mūsā al-Khuwārizmī, per indicare l’operazione con cui dall’uguaglianza \(A-B=C\) si passa a \(A=B+C\) (trasporto di un termine da un membro all’altro di un’uguaglianza).

Si può affermare che la storia dell’Algebra ha inizio almeno attorno al 2000 a.C. in quanto si trovano tracce di approcci algebrici fin dalla antichità egizia e mesopotamica. Di fatto le manifestazioni di tipo matematico, anzi aritmetico risalgono a molto più indietro nel tempo. Sono noti infatti strumenti di calcolo, le “calcolatrici” dell’età della pietra: i tallies. La sopravvivenza dei tallies si può vedere in vari esempi: la retta dei numeri, le corone del rosario e, sorprendentemente, nelle macchine di Turing, gli antenati teorici degli odierni computer.

Il pensiero algebrico è frutto di evoluzione culturale umana sviluppatasi, nel tempo storico. In tempi più vicini a noi, si riscontrano aspetti che facciamo meno fatica a ritenere algebrici, ad esempio ad opera di Diofanto (200 – 284 d.C.). Anche l’estremo Oriente (India e Cina) ha dato i propri contributi all’Algebra. Con queste civiltà c’è un problema di datazione, in quanto le opere scritte di quei popoli sono frutto di una lunga tradizione orale. Resta quindi difficile trovare l’origine storica dei procedimenti.

È bene inoltre distinguere alcuni momenti egualmente importanti e costitutivi dell’Algebra:

  1. la storia delle equazioni e delle tecniche risolutive e problemi connessi (dall’antichità al XIX secolo);
  2. la storia del simbolismo algebrico. (dal IV secolo a. C. al XVII secolo);
  3. la storia delle strutture algebriche (a partire dall’inizio del XIX secolo).

Fasi storiche

Nel suo primo stadio l’algebra viene detta retorica (dal greco rhetor = oratore ) in quanto, data l’assenza dei simboli, tutti i problemi venivano espressi mediante il linguaggio naturale. Questa tipologia di algebra caratterizzò gli scritti dei Babilonesi, degli Egiziani, dei pitagorici.

I babilonesi usavano come incognite le parole us (lunghezza), sag (larghezza) e asa (area), proprio perché molti problemi algebrici nascevano da situazioni di natura geometrica, quindi la terminologia geometrica era utilizzata anche nell’algebra.

diofanto

Successivamente, nella fase sincopata (dal greco synkopé = tagliare, ridurre) da Diofanto alla fine del XVI secolo, compaiono le prime abbreviazioni. Vengono utilizzate le parole, ma durante i ragionamenti e i calcoli vengono utilizzate delle abbreviazioni. Diofanto (circa 250 d.C.) fu il primo ad utilizzare le abbreviazioni, utilizzando come simboli per gli operatori matematici le lettere dell’alfabeto greco.

Simboli utilizzati per indicare le potenze delle incognite:

  • \(x\) → \(\zeta\) chiamata “il numero del problema” (incognita)
  • \(x^2\) → \(\Delta\Upsilon\) “quadrato” o “potenza”
  • \(x^3\) → \(\textrm{K}\Upsilon\) “cubo”
  • \(x^4\) → \(\Delta\Upsilon\Delta\) “quadrato-quadrato”
  • \(x^5\) → \(\Delta\textrm{K}\Upsilon\) “quadrato-cubo”
  • \(x^6\) → \(\textrm{K}\Upsilon\textrm{K}\) “cubo-cubo”

Nella risoluzione di equazioni non compaiono metodi geometrici, il suo approccio è simile a quello dei babilonesi, ma i suoi numeri sono qualcosa di totalmente astratto, non si riferiscono a misure di grano o dimensioni di terreni come avveniva nell’algebra egiziana e mesopotamica. Inoltre non era ancora conosciuto il sistema posizionale dei numeri.

L’ultima fase dell’algebra è quella simbolica, dopo Viète (1540 – 1603). Non viene più utilizzato il linguaggio naturale per indicare le quantità note e le incognite, ma lettere e simboli. Nel 1591 Viète pubblicò un trattato dal titolo “Isagoge in artem analyticam” nel quale cerca di stabilire un legame tra la geometria antica e la nuova algebra. In questo trattato pone inoltre le basi del calcolo letterale, indicando le incognite con le vocali e i parametri con le consonanti.

Argomenti di studio

Bibliografia

  1. Immagine: Pagina di Algebra di al-Khwarizmi. Wikimedia.
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