Segnale

Con il termine segnale, in telecomunicazioni, si intende rappresentare una grandezza fisica capace di portare con sé delle informazioni da trasmettere a distanza. Il concetto di segnale interviene in molti campi della scienza e della tecnologia.

La natura fisica dei segnali può essere molto diversa ma la loro caratteristica di base è comune: il segnale è un modello matematico che descrive il modo di variare di una (o più) grandezze fisiche misurabili in funzione di altre grandezze fisiche. Pertanto un segnale può essere descritto matematicamente da una funzione di una (o più) variabili indipendenti.

Spesso però ad esso viene attribuito, in modo improprio, indifferentemente il significato anche di messaggio o di informazione. Distiguere i concetti di segnale, messaggio ed informazione, non è immediato in quanto:

  • il segnale può essere di varia natura ed è rappresentato da una grandezza fisica;
  • il messaggio è il mezzo che permette la trasmissione dell’informazione;
  • l’informazione è il contenuto trasmesso (dati, immagini, video, audio, eccetera).

Le grandezze fisiche rappresentate da un segnale sono le più svariate: l’intensità luminosa e il colore su uno schermo nel caso di un segnale televisivo, la variazione della pressione dell’aria nel caso di un segnale acustico, la tensione elettrica o la corrente nel caso di un segnale misurato su di un circuito elettrico, un’onda elettromagnetica nel caso di un segnale radio captato dallo spazio.

L’evoluzione di molti segnali monodimensionali (cioè dipendenti da una sola grandezza) avviene nel tempo: esempi sono il segnale acustico, la misura della tensione su un condensatore, la variazione dell’intensità luminosa del sole durante il giorno, eccetera. Tuttavia è possibile considerare dipendenze diverse di un segnale: ad esempio la sua variazione nello spazio. La misura dell’intensità dell’oscillazione di un terremoto ad uno stesso istante nelle varie località rappresenta un segnale di cui interessa la cui estensione spaziale e non la sua evoluzione temporale. Naturalmente è sempre possibile immaginare lo stesso tipo di informazione (l’intensità di un terremoto) in una data località e seguirne la sua evoluzione nel tempo.

Quest’ultimo esempio porta alla rappresentazione di segnali bidimensionali o anche multidimensionali, segnali cioè che variano in dipendenza della variazione di due o più grandezze.

Il segnale televisivo bianco e nero è un esempio di segnale tridimensionale, dato che esso è dipendente da due coordinate spaziali (larghezza ed altezza dello schermo) e da una coordinata temporale (il susseguirsi delle scene sullo schermo). Se consideriamo invece un segnale televisivo a colori esso è in realtà la sovrapposizione di tre segnali tridimensionali, dato che separatamente in ogni punto dello schermo è rappresentata la sovrapposizione dei tre colori fondamentali: rosso, verde, blu. Quindi un segnale televisivo a colori si puè pensare come un segnale vettoriale (costituito cioè da tre componenti) a tre dimensioni, dipendente cioè da tre grandezze fisiche: \(c(x, y, t)=[red(x, y, t), green(x, y, t), blue(x, y, t)]\).

Si immagini, dunque, una sorgente S che vuole trasmettere delle informazioni ad una destinazione D, ad una certa distanza da essa. Lo schema generale della comunicazione sarà composto dunque da:

  1. sorgente che emette il segnale;
  2. trasduttore di sorgente del segnale che trasforma in maniera opportuna l’informazione in funzione della tipologia di canale di trasmissione a disposizione;
  3. canale di trasmissione che rappresenta il mezzo fisico su cui viaggia il segnale;
  4. trasduttore di destinazione del segnale che permette la traduzione del segnale e delle sue informazioni in modo intellegibile dalla destinazione.

A tale scopo S perturba una opportuna grandezza fisica (di tipo meccanico, ottica, elettrica, termica, o altro) la quale si propaga e raggiunge D. L’andamento nel tempo della grandezza perturbata costituisce il segnale, sulla base del quale D acquisisce l’informazione trasmessagli da S, ovvero aumenta le sue conoscenze riguardo un determinato fatto o circostanza. Pertanto il segnale costituisce l’aspetto fisico della trasmissione dell’informazione (che è di natura astratta) in un sistema di comunicazione.

In termini matematici un segnale può essere definito come una funzione di una o più variabili, che contiene informazioni relative ad un fenomeno fisico. Infatti un segnale viene rappresentato generalmente tramite una funzione \(x(t)\), ossia come una funzione della variabile temporale \(t\), la quale può variare in un intervallo di tempo generalmente non limitato. Oltremodo, potremmo considerare segnali in cui la variabile indipendente non sia rappresentata dal tempo ma da altre grandezze fisiche, come ad esempio una o più coordinate spaziali. Sulla base del grado di conoscenza a priori da parte della destinazione (D), esistono due grandi classi di segnali:

  1. segnali certi: per i quali l’andamento è noto mediante una opportuna funzione matematica (oppure il grafico della funzione), la quale presenta delle costanti arbitrarie, dalla cui conoscenza è possibile determinare completamente il segnale;
  2. segnali aleatori: per i quali l’andamento non è noto da parte della destinazione. Tale incertezza può essere limitata ad uno o più parametri del segnale, oppure il segnale può essere completamente incognito.

Come è stato già detto, un segnale certo può essere espresso mediante una funzione \(x(t)\), che può essere reale oppure complessa, e quindi si può esprimere in uno dei seguenti modi:

\[x(t)=x_r(t)+jx_i(t)\]

\[x(t)=|x(t)|e^{j\textrm{Arg}(x(t))}\]

dove la parte reale e quella immaginaria di \(x(t)\) sono rispettivamente:

\[x_r(t)=|x(t)|\cos(\textrm{Arg}(x(t)))\]

\[x_i(t)=|x(t)|\sin(\textrm{Arg}(x(t)))\]

e dove il modulo e la fase (cioè l’argomento) di \(x(t)\) sono:

\[|x(t)|=\sqrt{x^2_r(t)+x^2_i(t)}\]

\[\textrm{Arg}(x(t))=\tan^{-1}\left(\dfrac{x_i(t)}{x_r(t)}\right)\]

Tipologie e classificazione dei segnali

Una prima classificazione di segnale è stata già fatta differenziando i segnali monodimensionali da quelli multidimensionali, come anche quelli scalari da quelli vettoriali, costituiti cioè da più componenti. Un altro modo per classificare i segnali è quello di introdurre il concetto di durata, che fornisce una misura dell’estensione temporale di un segnale, cioé dell’intervallo di tempo all’interno del quale il segnale assume valori non trascurabili.

I segnali, dunque, possono essere classificati in base alla loro occupazione temporale come: limitati nel tempo oppure illimitati nel tempo. Nel primo caso la funzione \(x(t)\) è certamente nulla per \(t\) al di fuori di un intervallo finito \([t_1,t_2]\). Nel secondo caso, invece, questa limitazione non sussiste:

  • segnali a durata rigorosamente limitata: questi segnali si annullano identicamente al di fuori di un certo intervallo temporale;
  • segnali a durata illimitata: questi segnali assumono valori non trascurabili su tutto l’asse temporale;
  • segnali a durata praticamente limitata: questi segnali decadono asintoticamente a zero, per cui si possono ritenere trascurabili al di fuori di un certo intervallo, che indica la misura della durata. La definizione di tale misura è quindi arbitraria e va specificata in base al tipo di applicazione considerato.

Dato che un segnale rappresenta l’andamento temporale di una grandezza fisica, le funzioni che lo rappresentano dovrebbero essere sempre funzioni reali della variabile temporale \(t\). Poiché, inoltre, non ha senso osservare un fenomeno fisico per un tempo infinito, si ha che la variabile \(t\) dovrebbe assumere solo valori finiti.

In natura i fenomeni fisici non sono mai discontinui, pertanto anche le funzioni che li descrivono dovrebbero essere continue; infine, i valori che assume il segnale sono limitati inferiormente e superiormente da fattori fisici.

I segnali a durata illimitata sono solo un’astrazione matematica, molto utile quando si devono schematizzare certe situazioni pratiche mediante semplici modelli. Di fatto i segnali che si possono trovare nella realtà hanno sempre durata limitata, in quanto osservati su intervalli di tempo finiti. I segnali a durata rigorosamente o praticamente limitata sono anche detti transitori. Si possono, pertanto, differenziare i segnali in base ai valori assunti dalla variabile indipendente:

  • segnali a tempo continuo: sono quelli per i quali il dominio della funzione ha la cardinalità dei numeri reali. La variabile indipendente (ad esempio il tempo) assume valori in modo continuo (ad esempio un segnale musicale emesso da uno strumento);
  • segnali a tempo discreto: sono quelli per i quali il dominio della funzione ha la cardinalità dei numeri naturali. Per questi segnali la variabile indipendente assume valori in un insieme discreto. In tal caso la dipendenza del segnale dalla variabile indipendente è rappresentata mediante la successione dei valori assunti: \(x(n)\) per indicare il valore del segnale \(x\) dall’nsimo valore della variabile indipendente. Esempio di un segnale tempo discreto è il segnale televisivo, dato che esso è rappresentato sullo schermo mediante la successione di 25 fotogrammi al secondo.

I segnali stessi possono assumere valori in un insieme non numerabile di valori (segnali ad ampiezza continua) o in un insieme numerabile di valori (segnali ad ampiezza discreta).

Esempio di un segnale ad ampiezza continua è la misura della tensione su un condensatore così come essa è rappresentata su un oscilloscopio analogico; esempio di un segnale ad ampiezza discreta è invece lo stato di un semaforo: ad ogni istante esso può assumere solo due possibili valori: acceso o spento.

I segnali ad ampiezza continua sono detti anche segnali analogici, quelli ad ampiezza discreta sono detti numerici.

Segnali a tempo continuo

I segnali a tempo continuo \(x(t)\) sono quei segnali per cui il dominio della funzione ricade nell’insieme dei numeri reali o complessi; sono detti tempo continuo perché la variabile indipendente della funzione assume valori con continuità nell’intervallo di tempo definito.

Impulso o finestra rettangolare

\[\Pi (t)\overset{\bigtriangleup }{=}\left\{\begin{matrix}
1 & |t|\leq\dfrac{1}{2}\\
0 & altrimenti
\end{matrix}\right.\]

Impulso o finestra triangolare

\[\Lambda (t)\overset{\bigtriangleup }{=}\left\{\begin{matrix}
1-|t| & |t|\leq 1\\
0 & altrimenti
\end{matrix}\right.\]

Gradino unitario

\[u(t)=\left\{\begin{matrix}
1 & t\geq 0\\
0 & altrimenti
\end{matrix}\right.\]

Signum

\[\textrm{sign}(t)=\left\{\begin{matrix}
1 & t\geq 0\\
-1 & t<0
\end{matrix}\right.\]

Impulso esponenziale monolatero

\[x(t)=\left\{\begin{matrix}
e^{-t} & t\geq 0\\
0 & altrimenti
\end{matrix}\right.\]

Impulso esponenziale bilatero

\[x(t)= e^{|-t|}\left\{\begin{matrix}
e^{-t} & t\geq 0\\
e^t & t<0
\end{matrix}\right.\]

Segnali a tempo discreto

I segnali a tempo discreto \(x[n]\), a differenza di quelli a tempo continuo, possiedono un dominio della funzione appartenente all’insieme dei numeri interi (discreti). Ovvero sono una sequenza o successione di intervalli di segnale che esistono solo in un determinato e preciso istante di tempo.

Segnali ad ampiezza continua

I segnali ad ampiezza continua sono tipicamente i segnali analogici, ossia quelli che possono assumere con continuità tutti i valori di un intervallo (a valori reali ed eventualmente illimitato).

Segnali ad ampiezza discreta

I segnali ad ampiezza discreta sono tipicamente i segnali digitali (o numerici), ossia quelli che assumono con discontinuità valori di un intervallo eventualmente illimitato.

Segnali di energia e di potenza

Energia di un segnale

Si definisce energia di un segnale la seguente quantità:

\[E_s=\int_{-\infty}^{+\infty}s(t)s^*(t)dt=\lim_{\Delta T\to \infty}\int_{-\frac{\Delta T}{2}}^{+\frac{\Delta T}{2}}|s(t)|^2dt\]

avendo indicato con \(s(t)\) il segnale e con \(s^*(t)\) il suo complesso coniugato.

L’energia di un segnale è una quantità positiva o nulla, ed è nulla solo nel caso banale in cui \(s(t)=0\) per ogni istante di tempo \(t\). Se risulta che \(E_s\) è una quantità finita non nulla, il segnale viene detto segnale di energia.

Potenza di un segnale

Si definisce potenza di un segnale la seguente quantità:

\[P_s=\lim_{\Delta T \to \infty}\dfrac{1}{\Delta T}\int_{-\frac{\Delta T}{2}}^{+\frac{\Delta T}{2}}s(t)s^*(t)dt\]

Un segnale di energia ha sempre potenza nulla, ma non è sempre vero il contrario. La potenza di un segnale è una quantità positiva oppure nulla. Se \(P_s\) è una quantità finita diversa da zero, allora il segnale viene detto segnale di potenza.

Segnali ortogonali

Nella teoria dei segnali, due segnali \(s_1(t)\) e \(s_2(t)\) si dicono ortogonali se in un intervallo di tempo \([t_a,t_b]\) risulta che:

\[\int_{t_a}^{t_b}s_1(t)s^*(t)dt\neq 0\]

Operazioni sui segnali

Somma di segnali

\[z(t)=x(t)+y(t)\]

Prodotto di segnali

\[z(t)=x(t)\cdot y(t)\]

Prodotto di un segnale per una costante \(k\) (amplificazione oppure attenuazione, se \(k\) è reale positiva o negativa, rispettivamente.

\[z(t)=k\cdot x(t)\]

Ribaltamento (intorno allo zero)

\[z(t)=x(-t)\]

Traslazione nel tempo (si ha un ritardo se \(\tau >0\), o un anticipo se \(\tau <0\)

\[z(t)=x(t-\tau)\]

Dilatazione o contrazione dell’asse dei tempi di un fattore reale \(\alpha\)

\[z(t)=x(\alpha t)\]

  • si ha una dilatazione se \(|\alpha|<1\)
  • si ha una contrazione se \(|\alpha|>1\)
  • si ha un ribaltamento se \(|\alpha|=0\)