Leggi di Kirchhoff

Nello studio delle reti elettriche capita di dover determinare alcune grandezze elettriche incognite (effetti) in base al valore assunto da altre grandezze elettriche note (cause). Per risolvere questo problema è necessario disporre di equazioni che mettano in relazione le cause con gli effetti. Lo scienziato tedesco Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) ricavò i due principi fondamentali per lo studio delle reti elettriche che permettono di scrivere tali equazioni. Egli dedusse i suoi principi da due leggi fisiche generali che non riguardano solo le reti elettriche.

Primo principio di Kirchhoff

Si consideri un nodo di un circuito elettrico appartenente ad una generica rete elettrica. In esso convergono diversi rami, ognuno percorso da una corrente elettrica avente il verso convenzionale (indicato in figura).

Si può ragionevolmente ritenere che la corrente totale che esce dal nodo sia uguale alla corrente totale che entra in esso. D’altronde se ciò non accadesse si avrebbe un accumulo od una rarefazione progressiva di cariche elettriche a seconda del termine che risulta maggiore. In pratica si ritiene costante la carica totale presente in ciascuna parte di una rete elettrica ovvero si ritiene valido il principio di stazionarietà della carica elettrica.

In regime stazionario la carica elettrica presente nel nodo deve rimanere costante e quindi, in uno stesso intervallo di tempo, alla carica che entra nel nodo deve corrispondere una uguale quantità di carica in uscita da esso. Quanto appena affermato costituisce il primo principio di Kirchhoff.

In un nodo la somma delle correnti entranti è uguale alla somma delle correnti uscenti.

Considerando positive le correnti entranti e negative le correnti uscenti il primo principio di Kirchhoff può essere espresso nel seguente modo:

\[\sum \pm I=0\]

ossia, in un nodo la somma algebrica delle correnti è nulla. Applicando il primo principio di Kirchhoff a ciascun nodo di una rete elettrica si ottiene un numero di equazioni lineari pari al numero n di nodi. Queste equazioni sono denominate equazioni di nodo.

Secondo principio di Kirchhoff

Il campo elettrico, così come quello gravitazionale è di tipo conservativo. Ciò implica che la variazione di energia potenziale subita da una carica di prova q per passare da un punto ad un altro della rete non dipende dal percorso seguito. Vediamo cosa comporta questo aspetto. Si consideri una maglia presente all’interno di una generica rete elettrica:

Vogliamo determinare la differenza di potenziale \(V_{AE}\). Applicando il principio di addittività delle d.d.p. possiamo però affermare che:

\[V_{AE} = V_{AB} + V_{BC} + V_{CD} + V_{DE}\]

oppure, in modo equivalente, scegliendo l’altro percorso

\[V_{AE} = V_{AG} + V_{GF} + V_{FE}\]

Essendo il campo elettrico conservativo è evidente che la differenza di potenziale \(V_{AE}\) calcolata nel primo modo è uguale alla differenza di potenziale calcolata nel secondo modo. Mettendo insieme le due relazioni si ottiene:

\[V_{AB} + V_{BC} + V_{CD} + V_{DE} = V_{AG} + V_{GF} + V_{FE}\]

Da cui, dopo semplici passaggi:

\[V_{AB} + V_{BC} + V_{CD} + V_{DE} + V_{EF} + V_{FG} + V_{GA} = 0\]

Si intuisce che le tensioni precedentemente elencate non possono assumere tutte solo un valore positivo o solo negativo, ma, in base al regime di funzionamento della rete, alcune di esse saranno positive, altre saranno negative. Pertanto la sommatoria precedente non è una sommatoria aritmetica ma algebrica.

Possiamo affermare in termini generali il secondo principio di Kirchhoff nel seguente modo:

In una maglia la somma algebrica delle tensioni è uguale a zero.

La precedente affermazione può essere espressa con un linguaggio matematico mediante la seguente espressione analitica:

\[\sum \pm V_i =0\]

Per ogni maglia presente in una rete elettrica il secondo principio di Kirchhoff permette di determinare una equazione, denominata equazione di maglia. Per scrivere correttamente le equazioni di maglia possono essere di aiuto le seguenti regole pratiche:

  1. fissare un verso di percorrenza della maglia;
  2. considerare positive le f.e.m. che hanno il verso concorde con il verso di percorrenza e negative le f.e.m. che hanno il verso discorde con il verso di percorrenza scelto;
  3. considerare positive le cadute di tensione date da correnti concordi con il verso di percorrenza e negative le cadute di tensione date da correnti con il verso concorde con il verso di percorrenza.

Ad esempio, considerando la maglia della figura precedente, utilizzando le regole pratiche appena esposte e fissando il verso di percorrenza orario della maglia, si ottiene la seguente equazione:

\[E_1-R_1I_1+E_3-R_3I_3+R_4I_2-E_2+R_2I_2 = 0\]

Risolvendo si ottiene che:

\[E_1-E_2+E_3 = R_1I_1-R_2I_2+R_3I_3-R_4I_2\]

Questa espressione suggerisce il seguente modo di enunciare il secondo principio di Kirchhoff.

In una maglia, la somma algebrica delle forze elettromotrici uguaglia la somma algebrica delle cadute di potenziale.

All’enuciato precedente corrisponde la seguente espressione analitica:

\[\sum \pm E = \pm R I\]