Grado di libertà

Per gradi di libertà di un sistema si intende il numero minimo di parametri che occorre in qualche modo fissare per poterne definire in modo inequivocabile la posizione. Se si ha a che fare con un corpo rigido mobile su un piano (il che vuol dire che si ipotizza che non se ne possa allontanare) la sua posizione è univocamente determinata se è fissata, rispetto ad un qualsiasi riferimento fisso, la posizione di un suo punto e la direzione (angolo) di una retta che gli appartiene.

Ciò vuol dire che un corpo rigido in moto piano possiede tre gradi di libertà: le due coordinate del punto e l’angolo formato dalla retta rispetto al riferimento usato. Se il rigido, invece, può muoversi nello spazio i suoi gradi di libertà diventano sei; per definirne la posizione, infatti, occorrerà fissare la posizione di uno dei suoi punti e la sua orientazione (tre coordinate per il punto e tre angoli).

In generale, il numero \(f\) di gradi di libertà (gdl) di un meccanismo di \(n\) membri vincolati tra loro da un numero \(c_i\) di coppie inferiori e da un numero \(c_s\) di coppie superiori si ricava come segue: un membro mobile nel piano possiede gdl=3, ovvero le due traslazioni lungo due direzioni e la rotazione attorno ad un asse perpendicolare al piano (attorno al punto sua traccia nel piano), per cui i gradi di libertà ammontano complessivamente a \(3n\).

Poiché una coppia inferiore elimina due gradi di libertà, mentre una coppia superiore ne elimina solamente uno, ne consegue che la presenza nella catena di coppie inferiori e superiori abbassa il numero \(f’\) di gradi di libertà rispettivamente di \(2c_i\) e di \(c_s\) rispetto a \(3n\) spettante al sistema di \(n\) membri liberi. Per una catena si ha dunque:

\[f’=3n-2c_i-c_s\]

Fissando uno dei membri della catena come telaio, si ottiene che: \(f=f’-3\) e pertanto per il meccanismo risulta la seguente equazione:

\[f=3(n-1)-2c_i-c_s\]

spesso denominata formula di Grübler.

Particolare attenzione occorre prestare alle coppie di puro rotolamento le quali dal punto di vista del contatto andrebbero computate fra le coppie superiori: la condizione che nel punto di contatto C vi sia rotolamento puro implica l’ulteriore condizione che la velocità in detto punto sia pari a zero, e ciò riduce ad 1 i gradi di libertà consentiti da questo tipo di coppia. Pertanto è possibile, dal punto di vista pratico, o computare direttamente una coppia di puro rotolamento fra le coppie inferiori. Facciamo ora alcune considerazioni per casi specifici:

  • per \(f=0\) si ha una catena di membri bloccata, in quanto non è consentito nessun moto relativo ed il meccanismo degenera in una struttura;
  • per \(f=1\) corrisponde il caso fondamentale delle catene cinematiche, che danno origine alla classe dei meccanismi ordinari;
  • per \(f=2\) catena e meccanismo sono detti non cinematici, nel senso che non risulta possibile definire univocamente il moto dei vari membri; in altre parole, fissato il telaio, al moto assegnato ad uno dei membri non corrisponde un unico moto per gli altri, né traiettoria definita ed univoca per tutti i punti.

Per la coppia punto-punto il vincolo, che sempre significa contatto, impone la coincidenza dei due punti. Il grado di libertà diventa zero. Questo è il caso più semplice. Due punti permanentemente coincidenti ed appartenenti a due membri distinti, rappresentano la coppia rotoidale, che consente il moto rotatorio continuo (sul piano).

Per la coppia punto-linea il vincolo è costituito dall’appartenenza del punto solitario alla linea di sostegno (si intende del moto relativo del punto solitario rispetto alla linea). Viene così impedito lo spostamento del punto ortogonalmente alla linea. Il punto solidale alla linea col quale il punto solitario momentaneamente coincide, viene detto punto di sostegno.

Per la coppia linea-linea gli spostamenti elementari di una linea nel piano sono due traslazioni ed una rotazione. Nella coppia linea-linea la tangenza delle due linee consente due mobilità:

  1. lo slittamento di una sull’altra: si ha traslazione semplice nella direzione della tangente di contatto;
  2. la rotazione attorno ad un qualunque punto appartenente alla normale di contatto: scegliere uno di tali punti quale centro della rotazione significa aggiungere un vincolo e rendere univoco il movimento possibile. Se detto punto è il punto di tangenza delle due linee, per effetto della rotazione il contatto tra le due linee si sposta in un punto infinitamente prossimo (sulla tangente di contatto) al punto prescelto. Si ha il rotolamento di una linea rispetto all’altra.