Trasformazione politropica

Una trasformazione termodinamica si dice politropica se, nel piano di Clapeyron, la linea della trasformazione ha equazione del tipo \(pv^n=cost\) dove \(n\), detto esponente della politropica, è un numero che può assumere qualunque valore tra \(+\infty\) e \(-\infty\). Dato che quella equazione definisce la trasformazione in ogni suo punto, deduciamo che si tratta ancora una volta di una trasformazione quasi statica. Il valore dell’esponente \(n\) determina il tipo di curva rappresentativa della trasformazione:

  • quando \(0<n<+\infty\), la politropica è rappresentata da una iperbole;
  • quando \(-\infty <n<0\), la politropica è rappresentata da una curva passante per l’origine degli assi;
  • quando \(n=0\), si ottiene evidentemente una isobara;
  • quando \(n=+\infty\) o \(n=-\infty\), si ottiene invece una trasformazione a volume specifico costante.

Dato che le politropiche sono trasformazioni quasi statiche, il lavoro di variazione di volume è ancora una volta calcolabile mediante la relazione:

\[L_{1,2}=m\int_{v_1}^{v_2}pdv\]

Possiamo però fare qualche passaggio in più. Infatti, se l’equazione di una generica politropica è \(pv^n=cost\), deve sicuramente risultare:

\[pv^n=p_1v_1^n=p_2v_2^n\]

da cui segue che:

\[p=p_1v_1^n\dfrac{1}{v^n}\]

e quindi, sostituendo nell’espressione del lavoro, si ottiene:

\[L_{1,2}=m\int_{v_1}^{v_2}p_1v_1^n\dfrac{1}{v^n}dv=mp_1v_1^n\int_{v_1}^{v_2}\dfrac{1}{v^n}dv\]

Quell’integrale può essere calcolato facilmente, ma è necessario distinguere due casi:

  1. quando \(n\neq 1\), si ha che:
    \[L_{1,2}=mp_1v_1^n\dfrac{1}{n-1}\left[\dfrac{1}{v^{n-1}}\right]_{v_2}^{v_1}=mp_1v_1\dfrac{1}{n-1}\left[1-\left(\dfrac{v_1}{v_2}\right)^{n-1}\right]\]
  2. quando, invece, \(n=1\), si ha che:
    \[L_{1,2}=mp_1v_1\ln\dfrac{v_2}{v_1}\]
    oppure
    \[L_{1,2}=mp_1v_1\ln\dfrac{p_2}{p_1}\]
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