Resistenza elettrica

In Elettrotecnica, la resistenza elettrica \(R\) (chiamata anche bipolo resistore) è un dispositivo elettrico, nonché una grandezza fisica scalare che misura la tendenza di un materiale conduttore ad opporsi al passaggio di una corrente elettrica quando è sottoposto ad una differenza di potenziale.

Nonostante i termini resistore e resistenza, vengano utilizzati quasi indistintamente, esiste una sostanziale differenza, infatti tipicamente con il termine resistore viene indicato un dispositivo elettrico a due terminali realizzato con materiali conduttori, utilizzato fisicamente sui circuiti elettrici, mentre il termine resistenza identifica semplicemente un parametro circuitale. Questa opposizione dipende dalle proprietà del materiale con cui è realizzata la resistenza elettrica, dalle sue dimensioni e geometria, e dalla sua temperatura.

Formula per il calcolo della resistenza elettrica

Se ad esempio volessimo calcolare la resistenza di un filo di rame, la cui lunghezza \(L\) è molto maggiore rispetto alla sua sezione geometrica \(A\), è possibile utilizzare la seguente relazione:

\[R=\dfrac{\rho L}{A}\]

in cui \(\rho\) rappresenta la resistività (misurata in ohm × metro, Ωm) del materiale costituente il conduttore, in questo caso il rame (\(1,72\cdot 10^{-8}\)).

Simbolo circuitale del bipolo resistore, o resistenza elettrica circuitale.

A livello microscopico, la tensione applicata al bipolo resistore, crea un campo elettrico che accelera gli elettroni, i quali vanno a collidere con gli atomi costituenti il materiale del resistore, perdendo così parte della loro energia cinetica che si trasforma in calore (effetto Joule) per essere poi accelerati nuovamente dal campo elettrico, e così via. Il valore della resistenza elettrica di un conduttore si misura tramite la relazione di proporzionalità esistente tra d.d.p. \(V\) e l’intensità di corrente elettrica \(I\):

\[R=\dfrac{V}{I}\]

La resistenza si misura in ohm \([\Omega]\). Per convenzione, un conduttore presenta una resistenza di 1 ohm quando, sottoposto ad una d.d.p di 1 volt, è attraversato da una corrente di intensità pari a 1 ampere.

Resistenza ideale

Si definisce resistenza ideale (o resistore ideale) un bipolo passivo che mantiene un valore di resistenza costante qualunque siano i valori della tensione e della corrente. La sua equazione caratteristica deriva dalla legge di Ohm:

\[\Delta V_{AB}=RI\]

\[I = G\Delta V_{AB}\]

La caratteristica esterna è una retta passante per l’origine, in conformità al fatto che è un bipolo passivo, avente inclinazione dipendente dal valore di \(R\) o della conduttanza \(G\). Questo bipolo approssima il comportamento dei resistori reali, nei quali il valore della resistenza dipende dalla temperatura e da altri fattori. Esistono diverse tipologie di resistori, anche molto diverse tra loro, che si differenziano principalmente per la potenza elettrica che sono in grado di dissipare senza subire danni.

Calcolo della potenza elettrica assorbita da un resistore

La potenza assorbita da un resistore, applicando la legge di Ohm, è data da:

\[P=R\cdot I^2\]

oppure, equivalentemente:

\[P=\dfrac{V^2}{R}\]

Si osservi che in ogni caso il segno della potenza elettrica ottenuta è sempre positivo, ciò indica (e conferma) che una resistenza assorbe sempre potenza.

Studio della variazione di resistenza per effetto della temperatura

La resistenza elettrica dei conduttori metallici non varia in modo perfettamente lineare con la temperatura. Gli scarti della linearità non sono costanti e vengono calcolati con il rapporto \(\dfrac{R_T}{R_0}\) essendo \(R_0\) il valore della resistenza elettrica del metallo alla temperatura di riferimento di 0 °C, e \(R_T\) il valore della resistenza elettrica alla temperatura \(T\) da misurare.

Al fine di valutare l’effettivo rapporto tra \(R_T\) ed \(R_0\) in funzione della temperatura si deve valutare il coefficiente di resistenza \(\alpha\):

\[\alpha=\dfrac{\Delta R}{R_0\Delta T}=\left[\dfrac{1}{^{\circ}C}\right]\]

ossia l’incremento di resistenza (dove \(\Delta R= R_T-R_0\)) per grado di temperatura in un certo intervallo definito tra 0 °C e 100 °C (ghiaccio fondente – vapore) e si scrive poi la seguente legge:

\[R_T=R_0(1+\alpha\Delta T+\beta\Delta T^2+\gamma\Delta T^3+…)\]

se si trascurano i termini superiori al primo si ottiene:

\[R_T=R_0(1+\alpha\Delta T)\]

essendo \(\Delta T\) l’incremento di temperatura tra 0 °C a cui è stato fissato il valore di \(R_0\) e la temperatura \(T\) di 100 °C, si ottiene infine:

\[\dfrac{R_T}{R_0}=1+\alpha 100\]

da cui:

\[\alpha_{\Delta T=100}=\dfrac{R_T-R_0}{100R_0}\equiv\dfrac{R_{100}-R_0}{100R_0}\]

Grazie a questa equazione sarà possibile calcolare il valore di \(T_x\) (generico) andando a sostituire il valore di \(\alpha_{100}\) (valido per l’intervallo di temperature 0÷100 °C ma che può essere riutilizzato anche per temperature superiori in prima approssimazione) ed aggiungendo i termini correttivi come indicato nell’esempio qui di seguito:

\[R_{T_x}=R_0\left(1+\dfrac{R_{100}-R_0}{100R_0}T_x\right)\]

da cui ricavo \(T_x\)

\[T_x=\dfrac{R_{T_x}-R_0}{R_0}\dfrac{100R_0}{R_{100}-R_0}\]

Per tenere conto dei termini correttivi citati Callendar e Van Dusen hanno proposto la seguente equazione:

\[\begin{align*}
T_{x(^{\circ}C)} &= \dfrac{R_{T_x}-R_0}{R_{100}-R_0}100+\delta\left(\dfrac{T_x}{100}-1\right)\dfrac{T_x}{100}+\\
&+ \beta\left(\dfrac{T_x}{100}-1\right)\left(\dfrac{T_x}{100}\right)^3
\end{align*}\]

essendo \(\delta\) e \(\beta\) delle costanti che si determinano in funzione del campo di temperatura interessato: \(\delta\) si determina utilizzando la temperatura dello zinco fondente pari a 419,58 °C e risolvendo l’equazione rispetto a \(\delta\); mentre \(\beta\) si determina utilizzando il punto dell’ossigeno pari alla temperatura di equilibrio tra \(\textrm{O}_2\) liquido ed il suo vapore: -182,962 °C.