Fluidostatica (statica dei fluidi)

La statica dei fluidi, spesso detta anche idrostatica o fluidostatica, è una branca della meccanica dei fluidi che studia i fluidi in stato di quiete, cioè ogni corpo continuo per cui sia valida la legge di Pascal con velocità media costante nel tempo e vettorialmente omogenea nello spazio.

Equazione indefinita della statica dei fluidi

L’equazione indefinita della statica dei fluidi è una relazione fra grandezze caratterizzanti l’equilibrio o il moto dei fluidi, con valenza per un qualsiasi punto del sistema: più precisamente, per l’elemento infinitesimo all’intorno del punto sul quale agiscono le forze di massa e di superficie. In definitiva la risultante di tutte le forze superficiali vale:

\[F_s=-\left(\frac{\partial P}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial P}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial P}{\partial z}\vec{k}\right)dxdydz=-\textrm{grad}Pdxdydz\]

Per l’equilibrio del volume infinitesimo considerato deve essere nulla la risultante delle due forze: di massa e di superficie; cioè:

\[\rho F=\textrm{grad}P\]

che rappresenta l’equazione indefinita della statica dei fluidi, e che deve risultare soddisfatta in ogni punto della massa fluida in quiete. Essa indica, genericamente, che la pressione cresce nel verso delle forze di massa. Le forze di massa derivano da un potenziale \(U\), e cioè risulta \(F=\textrm{grad}U\), quindi:

\[\rho\textrm{grad}U=\textrm{grad}P\]

dalla quale è possibile dedurre che l’andamento della pressione e della densità su superfici equipotenziali \((U = cost;\;\textrm{grad}U=0)\) risulta essere con pressione e densità costanti; in ogni punto di dette superfici i vettori \(\vec{F}\) e \(\textrm{grad}P\) sono ad esse perpendicolari.

Equazione globale dell’equilibrio statico dei fluidi

L’equazione globale dell’equilibrio statico definisce che la risultante delle forze di massa agenti sopra un generico volume di fluido (in quiete) è uguale ed opposta alla spinta agente (dall’esterno verso l’interno) sulla superficie di contorno che lo delimita. Essa è:

\[G+\Pi =\int_V\rho FdV+\int_A PndA=0\]

dove \(A\) è la superficie di contorno, il primo integrale \(G\) rappresenta la risultante delle forze di massa agenti sulle singole particelle di fluido che occupa il volume \(V\) (nel caso di un fluido pesante soggetto unicamente al campo gravitazionale); il primo integrale è pari al peso del volume \(V\). Il secondo integrale \(\Pi\), invece, rappresenta la risultante di tutti gli sforzi elementari \(PndA\) agenti sui singoli elementi della superficie di contorno \(A\). È importante notare che non compaiono gli sforzi relativi ai punti interni al volume, cosicché, l’equilibrio del fluido risulta indipendente dalla distribuzione delle pressioni all’interno di \(V\).

Legge di Stevino o equazione fondamentale della statica dei fluidi

La legge di Stevino è uno dei principi fondamentali dell’idrostatica il quale afferma che: la pressione esercitata da un fluido incomprimibile (arbitrariamente scelto) su di un corpo immerso al suo interno dipende solamente dalla quota \(h\) a cui si trova il corpo e dalla densità \(\rho\) del fluido stesso moltiplicato per l’accelerazione di gravità \(g\).

\[p=\rho g h\]

Mentre la differenza di pressione tra due punti arbitrari è data dal peso di una colonna fluida verticale di sezione unitaria, contenuta tra basi orizzontali passanti per i due punti considerati. Prendendo in esame un volume definito di fluido in quiete soggetto unicamente all’azione del campo gravitazionale. La forza di massa è ovviamente conservativa e risulta espressa dalla seguente relazione:

\[F=-g\textrm{grad}z\]

dove con \(z\) viene indicata la quota geodetica (di un punto generico) misurata al di sopra di un qualsivoglia piano orizzontale di riferimento (superficie equipotenziale). Se ammettiamo che il fluido sia incompressibile ed isotermo, e che quindi anche la sua densità sia indipendente dalla pressione e costante in tutta la massa fluida, integrando la relazione precedente si ottiene:

\[z+\dfrac{P}{\gamma}=cost\]

che rappresenta l’equazione fondamentale della statica dei fluidi pesanti ed incomprimibili; detta anche legge di Stevino; dove \(\dfrac{P}{\gamma}\) è, al pari di \(z\), una lunghezza e viene denominata altezza piezometrica. Mentre la somma \(z+\dfrac{P}{\gamma}\) è la quota piezometrica.

Applicazione della legge di Stevino

Fissati due punti A e B arbitrariamente su due piani orizzontali alle rispettive quote \(z_A\) e \(z_B\) in un fluido, il legame fra le pressioni \(P_A\) e \(P_B\) risulta:

\[(z_A-z_B)+\dfrac{P_B-P_A}{\gamma}=0\]

\[P_B-P_A=\gamma (z_A-z_B)\]

\[P_B=P_A+\gamma (z_A-z_B)\]

la pressione aumenta linearmente al diminuire della quota geodetica con fattore di proporzionalità pari al peso specifico del fluido.