Baricentro

Si definisce baricentro di un corpo materiale il punto appartenente ad esso stesso, in cui è possibile supporre concentrata l’intera sua massa; la conoscenza della sua posizione è di fondamentale importanza perché permette di semplificare i problemi dinamici consentendo, per taluni aspetti, di trattare un corpo esteso come se fosse un unico punto pesante avente appunto massa.

Per trovare, in termini analitici, la posizione del baricentro si può immaginare il corpo, di massa totale \(m\), suddiviso in masse elementari \(dm\) corrispondenti ciascuna ad un suo punto \(P\); in ciascun punto \(P\) può pensarsi applicato un vettore di modulo \(dm\), e tali vettori siano tutti paralleli ad un’unica direzione e concordi (si faccia riferimento, per semplicità, ad un corpo pesante). In tal modo la massa totale \(m\) sarà rappresentata dal risultante del sistema di vettori paralleli così definito, ed il baricentro \(G\) sarà il punto di applicazione del risultante.

È valido in tali condizioni il teorema di Varignon, e quindi, fissato un arbitrario punto \(O\), il risultante dei momenti dei singoli vettori di intensità \(dm\) deve risultare uguale al momento del risultante applicato in \(G\), ovvero:

\[G-O=\dfrac{\displaystyle{\int_V(P-O)dm}}{\displaystyle{\int_Vdm}}=\dfrac{\displaystyle{\int_V(P-O)dm}}{m}\]

Se il punto \(O\) coincide con l’origine di un riferimento cartesiano, le coordinate di \(G\) saranno allora date da:

\[x_G=\dfrac{\displaystyle{\int_Vx\,dm}}{m}\]

\[y_G=\dfrac{\displaystyle{\int_Vy\,dm}}{m}\]

\[z_G=\dfrac{\displaystyle{\int_Vz\,dm}}{m}\]

Le proprietà di cui gode il baricentro sono, per quanto sopra, le medesime di cui gode un sistema di vettori paralleli. In particolare:

  • la posizione di \(G\) è sempre interna alla superficie che delimita l’estensione del corpo: tutti i vettori elementari sono, infatti, concordi e quindi il punto di applicazione del loro risultante non può essere se non interno ai punti di applicazione dei singoli vettori;
  • la posizione di \(G\) dipende solamente dalla distribuzione della massa e non dalla “qualità” del materiale da cui il corpo è costituito: \(G\) non cambia se tutti i dm vengono moltiplicati per una costante;
  • se la forma del corpo è tale da poterla assimilare ad una superficie (trascurandone lo spessore) il punto \(G\) starà su quella superficie;
  • se può essere assimilata ad una linea \(G\) starà su quella linea;
  • se la forma del corpo ammette un piano di simmetria oppure un asse di simmetria, il punto \(G\) si troverà su quel piano oppure su quell’asse di simmetria.

Calcolo del baricentro di un sistema continuo

Se indichiamo con \(\rho\) la massa volumica (massa per unità di volume) del corpo in esame e con \(V\) il suo volume, la sua massa \(m\) sarà data da: \(m=\rho V\). In forma elementare, se il valore di \(\rho\) è sempre il medesimo in ogni punto del corpo, sarà \(dm=\rho dV\). Quando quest’ultima espressione è valida (corpi omogenei) è possibile sostituirla nell’equazione precedente ottenendo:

\[G-O=\dfrac{\displaystyle{\int_V(P-O)dV}}{\displaystyle{\int_VdV}}=\dfrac{\displaystyle{\int_V(P-O)dV}}{V}\]

le coordinate di \(G\), se \(O\) coincide con l’origine del riferimento cartesiano, saranno:

\[x_G=\dfrac{\displaystyle{\int_Vx\,dV}}{V}\]

\[y_G=\dfrac{\displaystyle{\int_Vy\,dV}}{V}\]

\[z_G=\dfrac{\displaystyle{\int_Vz\,dV}}{V}\]

Analogamente, se la forma del corpo è assimilabile ad una superficie si avrà:

\[G-O=\dfrac{\displaystyle{\int_S(P-O)dS}}{\displaystyle{\int_SdS}}=\dfrac{\displaystyle{\int_S(P-O)dS}}{S}\]

e corrispondentemente:

\[x_G=\dfrac{\displaystyle{\int_Vx\,dV}}{V}\]

\[y_G=\dfrac{\displaystyle{\int_Vy\,dV}}{V}\]

\[z_G=\dfrac{\displaystyle{\int_Vz\,dV}}{V}\]

Se infine è assimilabile ad una linea:

\[G-O=\dfrac{\displaystyle{\int_l(P-O)dl}}{\displaystyle{\int_ldl}}=\dfrac{\displaystyle{\int_l(P-O)dl}}{l}\]

e corrispondentemente:

\[x_G=\dfrac{\displaystyle{\int_lx\,dl}}{l}\]

\[y_G=\dfrac{\displaystyle{\int_ly\,dl}}{l}\]

\[z_G=\dfrac{\displaystyle{\int_lz\,dl}}{l}\]

Si vede, pertanto, che per i corpi omogenei, il calcolo della posizione del baricentro si riduce, secondo i casi, al calcolo di un integrale di volume, di superficie, o di linea. Da quanto esposto è facile dedurre che quando il corpo ha una forma complessa, non facilmente assimilabile a geometrie semplici, e tale, quindi, da rendere complicato il calcolo dei relativi integrali, la via più agevole per il calcolo del baricentro potrà essere quella di scomporlo preventivamente in parti di forma geometrica semplice di cui calcolare separatamente i baricentri; il punto \(G\) dell’intero corpo si otterrà come baricentro delle masse parziali concentrate nei punti prima trovati. Similmente, se il corpo presenta una o più parti “vuote”, è anche lecito operare il calcolo sull’intero corpo come se fosse tutto “pieno” e poi considerare i vuoti come se fossero masse “negative”. Di contro, per le forme semplici, non sarà nemmeno necessario il calcolo integrale ma si potrà giungere al medesimo risultato attraverso considerazioni geometriche.