Diagramma di Bode

I diagrammi di Bode (Hendrik Wade Bode, pioniere nello studio della teoria dei controlli e delle telecomunicazioni elettroniche) sono una rappresentazione grafica della risposta in frequenza di un sistema lineare tempo-invariante (LTI) che descrivono come varia il modulo e la fase di una funzione di trasferimento al variare della frequenza. Consistono dunque in due grafici che rappresentano rispettivamente l’ampiezza (o modulo) e la fase della funzione complessa di risposta in frequenza.

Ricordiamo che si parla di risposta in frequenza quando la funzione di trasferimento di un sistema lineare tempo invariante viene sollecitata da un ingresso di tipo sinusoidale con pulsazione \(\omega\) al variare di questa.

Il diagramma di Bode trova applicazione, ad esempio, nella teoria dei controlli, nella teoria dei sistemi, nella progettazione di filtri e amplificatori.

Il comportamento di un sistema in regime sinusoidale

Un sistema risponde ad una sinusoide in ingresso con una sinusoide in uscita della stessa pulsazione. In generale la sinusoide di uscita ha una diversa ampiezza ed ha uno sfasamento rispetto alla sinusoide in ingresso.

Il comportamento frequenziale di un sistema si descrive mediante due grafici:

  1. il diagramma delle ampiezze: mostra il rapporto tra l’ampiezza della sinusoide in uscita e quello della sinusoide in ingresso (descrive l’amplificazione/attenuamento introdotto dal sistema);
  2. il diagramma delle fasi: mostra la differenza tra la fase della sinusoide in uscita e quella della sinusoide in ingresso (descrive il “ritardo” sulle sinusoidi introdotto dal sistema).

Gli assi orizzontali (pulsazioni) dei due diagrammi sono su scala logaritmica in base 10, per poter esprimere sia i valori piccoli che quelli grandi. Tali assi sono cioè lineare nell’esponente della potenza del 10, e gli intervalli vengono chiamate “decadi”. I vantaggi che si hanno impiegando una scala logaritmica sono:

  1. è possibile avere una rappresentazione dettagliata di grandezze che variano in campi notevolmente estesi;
  2. i diagrammi di Bode di sistemi in cascata si ottengono come somma dei diagrammi di Bode dei singoli sottosistemi;
  3. i diagrammi di Bode di una funzione data in forma fattorizzata si ottengono come somma dei diagrammi elementari dei singoli fattori.
Diagramma di Bode 1

L’asse verticale del diagramma dei moduli (guadagni) è lineare in decibel (dB). Il decibel è definito come \(20\log_{10}(G)\) dove \(G\) è il guadagno.

La seguente serie di conversione tra il valore in decibel ed il guadagno, può servire come esempio:

  • 60 dB → G = 1000
  • 40 dB → G = 100
  • 20 dB → G = 10
  • 0 dB → G = 1
  • -20 dB → G = 0,1
  • -40 dB → G = 0,01
  • -60 dB → G = 0,001

L’asse verticale del diagramma delle fasi è tarato, invece, in gradi, alle volte in radianti. Il comportamento in frequenza di un sistema può essere dedotto in via simulativa, in laboratorio, dando in ingresso al sistema sinusoidi con ampiezza costante ma pulsazione variabile, misurando poi quanto vale l’ampiezza e lo sfasamento della sinusoide in uscita, al variare della pulsazione.

Ad ogni modo esiste un metodo analitico per ricavare i due diagrammi precedentemente descritti. Tale metodo consiste nel ricavare la funzione di trasferimento \(F(s)\) del sistema, sostituire \(j\omega\) al posto di \(s\), e disegnare due diagrammi di modulo e fase a partire dalla funzione \(F(j\omega )\).

\(F(j\omega )\) è un numero complesso, variabile con \(\omega\), e si può dimostrare che il modulo di \(F(j\omega )\) corrisponde al guadagno del sistema al variare di \(\omega\), mentre la fase di \(F(j\omega )\) corrisponde allo sfasamento introdotto sulla sinusoide dal sistema sempre al variare di \(\omega\).