Skip to content

Geometria

Angoli congruenti

Si definiscono angoli congruenti (detti anche, impropiamente, angoli uguali) quegli angoli che hanno uguale ampiezza (isometrici). Due angoli opposti al vertice sono congruenti e hanno quindi la stessa ampiezza.

Leggi tutto

Angoli corrispondenti

Si definiscono angoli corrispondenti due angoli coniugati in comune ai vertici i semipiani originati dalle rette ma non reciprocamente; il che significa che solo uno degli angoli sarà contemporaneamente intersezione dei tre semipiani.

Leggi tutto

Angoli adiacenti

Una coppia di angoli consecutivi hanno le semirette non in comune opposte (cioè la loro unione è una retta) allora si dicono angoli adiacenti. Due angoli adiacenti sono anche supplementari in quanto la loro somma forma un angolo piatto.

Leggi tutto

Angoli consecutivi

Due angoli che hanno in comune solamente il vertice ed un lato (o semplicemente una semiretta) si dicono angoli consecutivi.

Leggi tutto

Angoli esplementari

In geometria, si definiscono esplementari quelle coppie di angoli la cui ampiezza è tale che, se sommati, permettono di ottenere un angolo giro. Ne segue che ogni esplementare di un angolo concavo è un angolo convesso e viceversa, mentre ogni esplementare di un angolo piatto è anch’esso piatto.

Leggi tutto

Angoli supplementari

In geometria, si definiscono supplementari quelle coppie di angoli la cui ampiezza è tale che, se sommati, permettono di ottenere un angolo piatto. Da questa definizione segue che ogni supplementare di un angolo acuto è un angolo ottuso e viceversa, mentre ogni supplementare di un angolo retto è anch’esso un angolo retto. Quando due angoli supplementari sono…

Leggi tutto

Angoli complementari

In geometria, si definiscono complementari quelle coppie di angoli la cui ampiezza è tale che, se sommati, permettono di ottenere un angolo retto. Da questa definizione segue che due angoli complementari devono essere entrambi acuti e che ha senso attribuire un complementare solo a un angolo acuto. Formule degli angoli complementari La funzione seno dell’angolo…

Leggi tutto

Angolo aggiunto

Il metodo dell’angolo aggiunto è uno dei metodi utilizzabili per risolvere le equazioni goniometriche lineari attraverso l’applicazione delle formule di addizione e sottrazione. \[a \sin x +b \cos x = A \sin(x+\phi)\] oppure: \[a \sin x +b \cos x = A \cos(x+\phi)\] L’angolo \(\phi\) è detto angolo aggiunto. La seguente uguaglianza è verificata sotto le…

Leggi tutto

Formule di Werner (inverse delle formule di prostaferesi)

\(\sin\alpha\cos\beta=\dfrac {1}{2} \left[ \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\right]\) \(\cos\alpha\cos\beta=\dfrac {1}{2} \left[ \cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)\right]\) \(\sin\alpha\sin\beta=-\dfrac {1}{2} \left[ \cos(\alpha+\beta) – \cos(\alpha-\beta)\right]\) Le formule di Werner trasformano prodotti di funzioni goniometriche in somme.

Leggi tutto

Formule di prostaferesi

\(\sin p+\sin q=2\sin \left(\dfrac{p+q}{2}\right)\cos \left(\dfrac{p-q}{2}\right)\) \(\sin p-\sin q=2\cos \left(\dfrac{p+q}{2}\right)\sin \left(\dfrac{p-q}{2}\right)\) \(\cos p+\cos q=2\cos \left(\dfrac{p+q}{2}\right)\cos \left(\dfrac{p-q}{2}\right)\) \(\cos p-\cos q=-2\sin \left(\dfrac{p+q}{2}\right)\sin \left(\dfrac{p-q}{2}\right)\) Le formule di prostaferesi trasformano somme di funzioni goniometriche in prodotti.

Leggi tutto

Formule parametriche

\(\cos\alpha=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\) \(\sin\alpha=\dfrac{2t}{1+t^2}\) \(\tan\alpha=\dfrac{2t}{1-t^2}\) dove \(t=\tan\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\) con \(\alpha\neq \pi+2k\pi\).

Leggi tutto

Formule di bisezione

Attenzione: è necessario valutare in quale quadrante cade \(\dfrac{\alpha}{2}\) per poter scegliere i segni opportuni delle seguenti formule \(\cos\left(\dfrac{\alpha} 2\right)=\pm\sqrt{\dfrac{1+\cos\alpha}{2} }\) \(\sin\left(\dfrac{\alpha} 2\right)=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{2} } \) \(\tan\left(\dfrac{\alpha} 2\right)=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}\) L’ultima formula vale per \(\alpha\neq \pi+2k\pi\).

Leggi tutto

Formule di linearità

\(\cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos(2\alpha)}{2} \) \(\sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos(2\alpha)}{2} \) \(\tan^2\alpha=\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\dfrac{1-\cos(2\alpha)}{1+\cos(2\alpha)}\) L’ultima formula vale per \(\alpha\neq \dfrac\pi 2 +k\pi \) con \(k \in \mathbb{Z}\)

Leggi tutto

Formule di duplicazione

\(\sin(2\alpha)=2\sin\alpha \cos\alpha \) \(\cos(2\alpha)=\cos^2\alpha – \sin^2\alpha = 1 – 2\sin^{2}\alpha = 2\cos^{2}\alpha – 1\) \(\tan(2\alpha)=\dfrac{2\tan\alpha}{1 – \tan^2\alpha}\) L’ultima formula vale per \(\alpha\neq \dfrac\pi 2 +k\pi\) e \(\alpha\neq \pm\dfrac\pi 4+ k \pi \) con \(k \in \mathbb{Z}\)

Leggi tutto

Formule di addizione e sottrazione

Le “formule di addizione e sottrazione” permettono di trasformare le funzioni trigonometriche della somma o differenza di due angoli in un’espressione composta da funzioni trigonometriche dei due angoli. Formule di addizione \(\sin(\alpha + \beta)=\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta \) \(\cos(\alpha + \beta)=\cos\alpha \cos\beta – \sin\alpha \sin\beta \) \(\tan(\alpha + \beta)=\dfrac {\tan\alpha + \tan\beta} {1 –…

Leggi tutto

Angoli opposti

Gli angoli opposti al vertice sono angoli non consecutivi fra i quattro angoli formati da due rette che si intersecano. Hanno il vertice in comune ed i lati di uno di essi, sono i prolungamenti dei lati dell’altro. Due angoli opposti al vertice sono congruenti e hanno quindi la stessa ampiezza. Formule degli angoli opposti…

Leggi tutto

Angoli associati

In goniometria, si definiscono angoli associati quelle coppie di angoli che possiedono particolari relazioni tra le loro funzioni goniometriche. Nella circonferenza goniometrica chiamiamo angoli associati gli angoli \(\alpha\), \(\pi-\alpha\), \(\pi+\alpha\) e \(2\pi-\alpha\). Tali angoli hanno in valore assoluto stesso seno e stesso coseno. Tipologie di angoli associati Sono angoli associati per ampiezza: angoli complementari angoli…

Leggi tutto

Circonferenza goniometrica

La circonferenza goniometrica, detta anche circonferenza trigonometrica o circonferenza unitaria (ovvero di raggio pari ad 1), è una figura fondamentale centrata nell’origine del piano cartesiano che permette di definire le funzioni trigonometriche di seno, coseno, tangente e cotangente, ed inoltre, consente anche di definire gli angoli con ampiezze maggiori di 360° e minori di 0°. Mediante la…

Leggi tutto

Distanza

La distanza tra due punti \(A\) e \(B\) equivale alla lunghezza del segmento \(\overline{AB}\) calcolata come la differenza tra le coordinate dei punti stessi. Nel caso in cui si voglia calcolare la distanza tra due punti su di una retta orientata, essa dovrà essere calcolata come differenza tra l’ascissa di \(B\) e l’ascissa di \(A\),…

Leggi tutto

Goniometria

La goniometria ha come oggetto di studio la misurazione degli angoli piani in relazione con le lunghezze di segmenti (archi corrispondenti) attraverso funzioni goniometriche definite a partire dalla circonferenza goniometrica. Le cinque relazioni fondamentali della Goniometria Considerando una circonferenza goniometrica e un angolo orientato \(\alpha\) studiamo le cinque relazioni fondamentali della Goniometria. Prima relazione fondamentale…

Leggi tutto

Volume

Il volume è la misura dello spazio occupato da un corpo materiale. Viene valutato ricorrendo a molte diverse unità di misura. L’unità adottata dal Sistema Internazionale è il metro cubo, simbolo m3. Il volume di un oggetto solido è un valore numerico utilizzato per descrivere a tre dimensioni quanto spazio occupa il corpo. Ad oggetti…

Leggi tutto

Lunghezza

La lunghezza identifica quantitativamente ed oggettivamente un corpo materiale secondo una sola dimensione principale o prevalente del corpo stesso. Il sistema internazionale (SI) definisce l’unità di lunghezza con il metro [m], che corrisponde al tragitto compiuto dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo pari a 1/299.792.458 di secondo; avendo fissato per definizione la velocità della luce a 299.792.458…

Leggi tutto

Rototraslazione

Questo caso presenta la somma di tutti i casi descritti in precedenza per la traslazione e la rotazione. Quindi, il moto di rototraslazione di un corpo rigido presenta sei gradi di libertà (3 di traslazione e 3 di rotazione). Le equazioni in gioco sono le due equazioni cardinali: \[\vec{F}_{ext}=\dfrac{d\vec{p}}{dt}\] \[\vec{M}_{ext}=\dfrac{d\vec{b}}{dt}\]

Leggi tutto

Rotazione

La rotazione è descritta da un angolo di rotazione e dal versore della velocità angolare \(\omega\) (che contiene informazioni sulla direzione ed il verso). Quindi il totale si hanno tre parametri che rispecchiano i tre gradi di libertà della rotazione. Ogni punto del corpo rigido descrive un moto circolare con asse passante per O (asse…

Leggi tutto

Traslazione

Si definisce traslazione l’atto di moto di un corpo materiale soggetto ad un’azione tale da provocare uno spostamento su di una traiettoria rettilinea. La traslazione costituisce un caso particolare di rotazione attorno ad un centro istantaneo di rotazione infinitamente lontano, situato in direzione perpendicolare a quella di traslazione. In altre parole è come se un corpo si…

Leggi tutto

Traiettoria

Con il termine traiettoria si definisce il luogo dei punti occupati, nello spazio, da un punto materiale durante il suo moto. È generalmente indicata con \(l\), mentre \(s(t)\) rappresenta la distanza percorsa dal punto materiale, ovvero lo spostamento, da \(s_1,t_1\) a \(s_2,t_2\); indipendentemente dal sistema di riferimento scelto, \(s(t)\), descrive come varia la posizione lungo la traiettoria,…

Leggi tutto

Posizione

La posizione di un punto, o di un corpo materiale rappresenta la localizzazione di detto corpo rispetto ad un punto di riferimento, che spesso è l’origine (o il punto zero) di un asse di un sistema di riferimento (come ad esempio l’asse \(x\)). Il verso positivo dell’asse è nella direzione dei numeri crescenti, verso il lato…

Leggi tutto

Geometria

La parola geometria deriva dal greco antico: γεωμετρία, composta da γεω (geo) che significa “terra” e da μετρία (metria) che significa “misura”, tradotto alla lettera significa “misura della terra”. Gli enti geometrici primitivi (non suscettibili cioè di una definizione, ma definiti implicitamente da un sistema di assiomi di base) sono: il punto; la retta; il…

Leggi tutto
Scroll To Top