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Matematica

Regione critica (o regione di rifiuto)

In statistica viene definita regione critica (detta anche regione di rifiuto) di un test di ipotesi, quel sottoinsieme (di numeri reali) tale che: si rigetta l’ipotesi nulla H0 se il valore calcolato della statistica test appartiene a tale regione; si accetta H0, se il valore calcolato della statistica test non appartiene a tale sottoinsieme. La…

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Punto di accumulazione

In matematica, si definisce punto di accumulazione il punto P di un insieme di punti per il quale ogni suo intorno contiene sempre almeno un punto dell’insieme diverso dal nostro punto. Ovvero, potendo scegliere infiniti intervalli sempre più piccoli, conterrà infiniti punti. La definizione di punto di accumulazione è alla base del concetto di limite,…

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Prodotti notevoli

I prodotti notevoli si utilizzano in Algebra per il calcolo letterale del prodotto tra polinomi. Si dicono notevoli, perché il prodotto tra alcuni particolari polinomi giunge sempre allo stesso risultato. Per questo motivo è possibile evitare, per questi particolari polinomi, lo svolgimento di tutti i passaggi di calcolo del prodotto, e scrivere dunque, direttamente il…

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Angoli congruenti

Si definiscono angoli congruenti (detti anche, impropiamente, angoli uguali) quegli angoli che hanno uguale ampiezza (isometrici). Due angoli opposti al vertice sono congruenti e hanno quindi la stessa ampiezza.

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Angoli corrispondenti

Si definiscono angoli corrispondenti due angoli coniugati in comune ai vertici i semipiani originati dalle rette ma non reciprocamente; il che significa che solo uno degli angoli sarà contemporaneamente intersezione dei tre semipiani.

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Angoli adiacenti

Una coppia di angoli consecutivi hanno le semirette non in comune opposte (cioè la loro unione è una retta) allora si dicono angoli adiacenti. Due angoli adiacenti sono anche supplementari in quanto la loro somma forma un angolo piatto.

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Angoli consecutivi

Due angoli che hanno in comune solamente il vertice ed un lato (o semplicemente una semiretta) si dicono angoli consecutivi.

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Angoli esplementari

In geometria, si definiscono esplementari quelle coppie di angoli la cui ampiezza è tale che, se sommati, permettono di ottenere un angolo giro. Ne segue che ogni esplementare di un angolo concavo è un angolo convesso e viceversa, mentre ogni esplementare di un angolo piatto è anch’esso piatto.

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Angoli supplementari

In geometria, si definiscono supplementari quelle coppie di angoli la cui ampiezza è tale che, se sommati, permettono di ottenere un angolo piatto. Da questa definizione segue che ogni supplementare di un angolo acuto è un angolo ottuso e viceversa, mentre ogni supplementare di un angolo retto è anch’esso un angolo retto. Quando due angoli supplementari sono…

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Angoli complementari

In geometria, si definiscono complementari quelle coppie di angoli la cui ampiezza è tale che, se sommati, permettono di ottenere un angolo retto. Da questa definizione segue che due angoli complementari devono essere entrambi acuti e che ha senso attribuire un complementare solo a un angolo acuto. Formule degli angoli complementari La funzione seno dell’angolo…

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Angolo aggiunto

Il metodo dell’angolo aggiunto è uno dei metodi utilizzabili per risolvere le equazioni goniometriche lineari attraverso l’applicazione delle formule di addizione e sottrazione. \[a \sin x +b \cos x = A \sin(x+\phi)\] oppure: \[a \sin x +b \cos x = A \cos(x+\phi)\] L’angolo \(\phi\) è detto angolo aggiunto. La seguente uguaglianza è verificata sotto le…

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Formule di Werner (inverse delle formule di prostaferesi)

\(\sin\alpha\cos\beta=\dfrac {1}{2} \left[ \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\right]\) \(\cos\alpha\cos\beta=\dfrac {1}{2} \left[ \cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)\right]\) \(\sin\alpha\sin\beta=-\dfrac {1}{2} \left[ \cos(\alpha+\beta) – \cos(\alpha-\beta)\right]\) Le formule di Werner trasformano prodotti di funzioni goniometriche in somme.

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Formule di prostaferesi

\(\sin p+\sin q=2\sin \left(\dfrac{p+q}{2}\right)\cos \left(\dfrac{p-q}{2}\right)\) \(\sin p-\sin q=2\cos \left(\dfrac{p+q}{2}\right)\sin \left(\dfrac{p-q}{2}\right)\) \(\cos p+\cos q=2\cos \left(\dfrac{p+q}{2}\right)\cos \left(\dfrac{p-q}{2}\right)\) \(\cos p-\cos q=-2\sin \left(\dfrac{p+q}{2}\right)\sin \left(\dfrac{p-q}{2}\right)\) Le formule di prostaferesi trasformano somme di funzioni goniometriche in prodotti.

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Formule parametriche

\(\cos\alpha=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\) \(\sin\alpha=\dfrac{2t}{1+t^2}\) \(\tan\alpha=\dfrac{2t}{1-t^2}\) dove \(t=\tan\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\) con \(\alpha\neq \pi+2k\pi\).

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Formule di bisezione

Attenzione: è necessario valutare in quale quadrante cade \(\dfrac{\alpha}{2}\) per poter scegliere i segni opportuni delle seguenti formule \(\cos\left(\dfrac{\alpha} 2\right)=\pm\sqrt{\dfrac{1+\cos\alpha}{2} }\) \(\sin\left(\dfrac{\alpha} 2\right)=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{2} } \) \(\tan\left(\dfrac{\alpha} 2\right)=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}\) L’ultima formula vale per \(\alpha\neq \pi+2k\pi\).

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Formule di linearità

\(\cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos(2\alpha)}{2} \) \(\sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos(2\alpha)}{2} \) \(\tan^2\alpha=\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\dfrac{1-\cos(2\alpha)}{1+\cos(2\alpha)}\) L’ultima formula vale per \(\alpha\neq \dfrac\pi 2 +k\pi \) con \(k \in \mathbb{Z}\)

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Formule di duplicazione

\(\sin(2\alpha)=2\sin\alpha \cos\alpha \) \(\cos(2\alpha)=\cos^2\alpha – \sin^2\alpha = 1 – 2\sin^{2}\alpha = 2\cos^{2}\alpha – 1\) \(\tan(2\alpha)=\dfrac{2\tan\alpha}{1 – \tan^2\alpha}\) L’ultima formula vale per \(\alpha\neq \dfrac\pi 2 +k\pi\) e \(\alpha\neq \pm\dfrac\pi 4+ k \pi \) con \(k \in \mathbb{Z}\)

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Formule di addizione e sottrazione

Le “formule di addizione e sottrazione” permettono di trasformare le funzioni trigonometriche della somma o differenza di due angoli in un’espressione composta da funzioni trigonometriche dei due angoli. Formule di addizione \(\sin(\alpha + \beta)=\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta \) \(\cos(\alpha + \beta)=\cos\alpha \cos\beta – \sin\alpha \sin\beta \) \(\tan(\alpha + \beta)=\dfrac {\tan\alpha + \tan\beta} {1 –…

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Angoli opposti

Gli angoli opposti al vertice sono angoli non consecutivi fra i quattro angoli formati da due rette che si intersecano. Hanno il vertice in comune ed i lati di uno di essi, sono i prolungamenti dei lati dell’altro. Due angoli opposti al vertice sono congruenti e hanno quindi la stessa ampiezza. Formule degli angoli opposti…

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Angoli associati

In goniometria, si definiscono angoli associati quelle coppie di angoli che possiedono particolari relazioni tra le loro funzioni goniometriche. Nella circonferenza goniometrica chiamiamo angoli associati gli angoli \(\alpha\), \(\pi-\alpha\), \(\pi+\alpha\) e \(2\pi-\alpha\). Tali angoli hanno in valore assoluto stesso seno e stesso coseno. Tipologie di angoli associati Sono angoli associati per ampiezza: angoli complementari angoli…

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Circonferenza goniometrica

La circonferenza goniometrica, detta anche circonferenza trigonometrica o circonferenza unitaria (ovvero di raggio pari ad 1), è una figura fondamentale centrata nell’origine del piano cartesiano che permette di definire le funzioni trigonometriche di seno, coseno, tangente e cotangente, ed inoltre, consente anche di definire gli angoli con ampiezze maggiori di 360° e minori di 0°. Mediante la…

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Geometria

La parola geometria deriva dal greco antico: γεωμετρία, composta da γεω (geo) che significa “terra” e da μετρία (metria) che significa “misura”, tradotto alla lettera significa “misura della terra”. Gli enti geometrici primitivi (non suscettibili cioè di una definizione, ma definiti implicitamente da un sistema di assiomi di base) sono: il punto; la retta; il…

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Impulso matematico o delta di Dirac

Si definisce delta di Dirac o impulso matematico come quella funzione, indicata con \(\delta(t)\), dipendente da un parametro reale (generalmente il tempo \(t\)) tale che risulti nulla per tutti i valori di detto parametro ad eccezione dello zero. In matematica, la funzione delta di Dirac (introdotta da Paul Dirac), anche detta impulso di Dirac, distribuzione di Dirac…

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Leggi di monotonia

Si definiscono leggi di monotonia quelle uguaglianze o disuguaglianze tra numeri che godono di proprietà relative all’addizione ed alla moltiplicazione. Prima legge di monotonia Se ai due membri di una uguaglianza, o di una disuguaglianza, si aggiunge uno stesso numero, essa resterà valida. \(x = y\) si avrà che: \(x+c=y+c\) \(x < y\) si avrà che:…

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Cotangente

\[\cot\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\dfrac{1}{\tan\alpha}\] Variazione della funzione cotangente \[\cot\left(0+\varepsilon\right)=\cot(0^{\circ}+\varepsilon)=+\infty\] \[\cot\left(0-\varepsilon\right)=\cot(0^{\circ}-\varepsilon)=-\infty\] \[\cot\dfrac{\pi}{2}=\cot90^{\circ}=0\] \[\cot\left(\pi-\varepsilon\right)=\cot(180^{\circ}-\varepsilon)=-\infty\] \[\cot\left(\pi+\varepsilon\right)=\cot(180^{\circ}+\varepsilon)=+\infty\] \[\cot\dfrac{3}{2}\pi=\cot270^{\circ}=0\] \[\cot(2\pi-\varepsilon)=\cot(360^{\circ}-\varepsilon)=-\infty\] \[\cot(2\pi+\varepsilon)=\cot(360^{\circ}+\varepsilon)=+\infty\] con \(-\infty\leq\cot\alpha\leq+\infty\).

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Tangente

\[\tan\alpha =\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\] Variazione della funzione tangente \[\tan0=\tan0^{\circ}=0\] \[\tan\left(\dfrac{\pi}{2}-\varepsilon\right)=\tan(90^{\circ}-\varepsilon)=+\infty\] \[\tan\left(\dfrac{\pi}{2}+\varepsilon\right)=\tan(90^{\circ}+\varepsilon)=-\infty\] \[\tan\pi=\tan180^{\circ}=0\] \[\tan\left(\dfrac{3}{2}\pi-\varepsilon\right)=\tan(270^{\circ}-\varepsilon)=+\infty\] \[\tan\left(\dfrac{3}{2}\pi+\varepsilon\right)=\tan(270^{\circ}+\varepsilon)=-\infty\] \[\tan2\pi=\tan360^{\circ}=0\] con \(-\infty\leq\tan\alpha\leq+\infty\).

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Secante

In Geometria, si definisce secante quella retta che interseca una curva in uno o più punti; in nessuno dei quali è tangente alla curva stessa. Due rette sono secanti tra loro se hanno un solo punto in comune. Un piano è detto secante se interseca una superficie senza essere tangente alla superficie stessa. Due piani…

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Semipiano

Un semipiano è una delle due regioni di un piano diviso da una retta. In particolare il semipiano è costituito sia dalla retta che dalla regione delimitata.

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Poligonale

Una poligonale è una figura geometrica costituita da segmenti consecutivi (a due, a due); può essere chiusa, aperta o intrecciata. Una poligonale chiusa si ha quando l’ultimo punto estremo dell’ultimo segmento (ultimo estremo) coincide con il primo punto estremo del primo segmento (primo estremo). Se tale condizione non si verifica allora la poligonale è detta…

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Segmento

Si definisce segmento una porzione (insieme di punti interni) di una retta compresa tra due punti A e B (chiamati estremi del segmento). Un segmento divide in due semirette (aventi come origine, rispettivamente, i punti A e B) la retta su cui giace. Le due semirette vengono dunque chiamate prolungamenti del segmento AB. Due segmenti…

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Semiretta

Si definisce semiretta il luogo dei punti avente origine in un punto O dal quale si susseguono in serie continua infiniti punti. Il punto O è chiamato origine della semiretta. Semirette interne ad un angolo Considerando un angolo qualsiasi (non nullo), tra i due lati dell’angolo esistono infinite semirette che hanno come origine il vertice…

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Piano (matematica)

Il piano è uno dei tre enti primitivi della Geometria, viene definito come il luogo geometrico dei punti avente estensione superficiale secondo esclusivamente due dimensioni; nello spazio tridimensionale, è l’insieme di tutti quei punti individuati dalla combinazione lineare di 2 vettori linearmente indipendenti applicati nel medesimo punto P. Ogni piano contiene infiniti punti ed infinite rette. Postulati di…

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Retta

La retta è uno dei tre enti primitivi della Geometria ed equivale ad un insieme ordinato e continuo di punti che non ha né inizio, né fine; ossia non esiste né un primo, né un ultimo punto, dunque la retta è illimitata. Postulati di appartenenza della retta Per due punti distinti di un piano passa una ed una…

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Punto

Un punto è uno dei tre enti primitivi della Geometria ed equivale ad un’entità adimensionale spaziale (non ha alcuna estensione); per cui può essere considerato semplicemente come una posizione, cioè come una coordinata. In topologia ed analisi matematica, viene spesso chiamato punto un elemento qualunque di uno spazio topologico e, in particolare, di uno spazio…

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Spazio (matematica)

In matematica il concetto di spazio indica diverse strutture algebriche e/o topologiche (in genere continue e di interesse per la geometria, ma anche discrete) le quali hanno in comune il fatto di costituire l’ambiente entro il quale si costruiscono o si definiscono strutture più specifiche (figure, forme, politopi, superfici, eccetera). In matematica dunque si incontrano…

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Figura geometrica

Una figura geometrica (anche detta forma geometrica) può definirsi come un insieme qualsiasi continuo di punti, caratterizzato da pertinenze quantitative e da pertinenze dimensionali. Classificazione Le figure geometriche possono essere classificate come segue: figure geometriche piane (ogni punto della figura geometrica appartiene al piano) figure geometriche solide (ogni punto della figura geometrica appartiene allo spazio a tre…

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Arco (geometria)

Un arco è una porzione di curva piana o sghemba delimitata da due punti della curva stessa, detti estremi dell’arco.

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Angolo

In Matematica, ed in particolare in Geometria, viene definito angolo (o più esattamente angolo piano), quella regione di un piano compresa tra due semirette aventi la stessa origine. Analogamente, nello spazio tridimensionale, si parla di angolo solido. L’origine delle semirette che delimitano l’angolo è chiamato vertice dell’angolo, mentre le semirette stesse vengono chiamate lati dell’angolo.…

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Arcocosecante

In trigonometria, si definisce arcocosecante (simbolo arccosec) la funzione inversa della funzione cosecante; indica gli archi corrispondenti a un dato valore della cosecante.

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Asintoto

Il termine asintoto è utilizzato in matematica, o nello specifico in geometria, per designare una retta, o più generalmente una curva, alla quale si avvicina indefinitamente una funzione. Un asintoto può essere bilatero o unilatero (destro o sinistro) a seconda che vi sia uno o due rami della curva che si accostano alla retta. Esistono…

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Bisezione

In Matematica, si definisce bisezione il procedimento di suddivisione di un oggetto geometrico, un dato o un elemento (ad esempio: bisezione di un angolo, di un segmento, di un intervallo numerico, eccetera), in due parti di uguale misura. Metodo della bisezione In analisi numerica il metodo di bisezione (o algoritmo dicotomico) è il metodo numerico…

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Intervallo (matematica)

In matematica si definisce intervallo l’insieme di tutti gli elementi di un insieme ordinato \(I\) che sono preceduti da un elemento \(a\) (estremo sinistro dell’intervallo) e precedono un elemento \(b\) (estremo destro dell’intervallo). L’intervallo è detto chiuso se i valori degli estremi ne fanno parte; un intervallo chiuso può essere chiuso a destra (o a…

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Arcocoseno

In trigonometria, si definisce arcocoseno la funzione inversa (simbolo \(\arccos\)) del coseno di un angolo; è detta anche coseninverso (simbolo \(\cos^{-1}\)). Indica gli archi corrispondenti a un dato valore del coseno.

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Divisione

La divisione (rappresentata dal simbolo matematico del diviso, “\(\div\)” oppure “\(:\)”) è una delle quattro operazioni fondamentali dell’aritmetica, insieme all’addizione, la sottrazione e alla moltiplicazione. Il risultato della divisione è chiamato quoziente (quando il resto della divisione è zero, il risultato viene talvolta detto quoto, dal latino quotus: quanto, in qual numero, sempre derivato da…

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Moltiplicazione

La moltiplicazione (rappresentata dal simbolo matematico del per, “\(\times\)” oppure “\(\cdot\)”) è una delle quattro operazioni fondamentali dell’aritmetica, insieme all’addizione, la sottrazione e alla divisione. Il risultato della moltiplicazione tra due o più numeri è chiamato prodotto, mentre gli operandi sono detti fattori se considerati insieme, e rispettivamente moltiplicando e moltiplicatore se presi individualmente.

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Sottrazione

La sottrazione (rappresentata dal simbolo matematico del meno, “\(-\)”) è una delle quattro operazioni aritmetiche fondamentali, insieme all‘addizione, alla moltiplicazione e alla divisione. Dati due numeri naturali \(x\) ed \(y\), calcolando la sottrazione \(x-y=r\) il primo operatore \(x\) è detto minuendo mentre il secondo \(y\) sottraendo, il risultato \(r\) della sottrazione si dice differenza.

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Addizione

L’addizione (rappresentata dal simbolo matematico del più, “\(+\)”) è una delle quattro operazioni fondamentali dell’aritmetica, insieme alla sottrazione, alla moltiplicazione e alla divisione. Quando si esegue una addizione tra numeri gli operandi vengono chiamati addendi, mentre il risultato è chiamato somma. Somma algebrica La somma algebrica viene definita come l’operazione di addizione (o sottrazione) di…

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Operazioni ed operatori matematici

In Matematica viene definita operazione (aritmetica) una relazione tra numeri: partendo da almeno due numeri, detti «operandi», si ottiene un unico risultato (che è anch’esso un numero), dipendente dal tipo di operazione oppure «operatore» utilizzato. Ogni operazione è identificata da un simbolo chiamato operatore: \(+\) addizione \(-\) sottrazione \(\times\) o \(\cdot\) moltiplicazione \(\div\) o \(:\)…

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Numero (insiemi numerici)

Un numero è un ente matematico primitivo, il cui concetto nasce dalla necessità del conteggio, come astrazione del concetto di quantità, oppure per assegnare la posizione in un elenco di elementi, oppure per identificare il rapporto tra grandezze dello stesso tipo. Insiemi numerici Gli insiemi numerici più importanti sono a partire dall’insieme dei numeri naturali,…

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Euclide

Euclide nei suoi Elementi aveva individuato un gruppo di cinque assiomi, che riguardano le nozioni comuni e quindi non fanno riferimento alla geometria, e un gruppo di cinque postulati che riguardano proprietà geometriche. Assiomi di Euclide Cose che sono uguali a una stessa cosa sono uguali anche tra loro. Se cose uguali sono addizionate a…

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Incertezza

Si definisce incertezza di una misura la stima della dispersione dei valori “attribuibili” al misurando. Viene associata al valore della misura come segue nell’esempio (misura di un diametro): \[D=47\pm 0,1\;mm\]

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Triangolo di Tartaglia (o di Pascal)

Il triangolo di Tartaglia (detto anche triangolo di Pascal) è una disposizione geometrica a forma di triangolo, dei coefficienti dello sviluppo della potenza n-esima di un binomio: \((a+b)^n\).

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Distanza

La distanza tra due punti \(A\) e \(B\) equivale alla lunghezza del segmento \(\overline{AB}\) calcolata come la differenza tra le coordinate dei punti stessi. Nel caso in cui si voglia calcolare la distanza tra due punti su di una retta orientata, essa dovrà essere calcolata come differenza tra l’ascissa di \(B\) e l’ascissa di \(A\),…

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Goniometria

La goniometria ha come oggetto di studio la misurazione degli angoli piani in relazione con le lunghezze di segmenti (archi corrispondenti) attraverso funzioni goniometriche definite a partire dalla circonferenza goniometrica. Le cinque relazioni fondamentali della Goniometria Considerando una circonferenza goniometrica e un angolo orientato \(\alpha\) studiamo le cinque relazioni fondamentali della Goniometria. Prima relazione fondamentale…

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Frazione (numeri razionali)

L’insieme dei numeri razionali, indicato con \(\mathbb{Q}\), comprende tutti quei numeri esprimibili come rapporto tra due numeri interi, ossia attraverso una frazione numerica. Una frazione è una coppia ordinata di numeri in cui il primo si chiama numeratore (\(a\)) e il secondo denominatore (\(b\)). Il denominatore per definizione deve essere diverso da zero \(b\neq 0\),…

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Fattorizzazione

Scomporre in fattori (o fattorizzare) un numero significa scriverlo come prodotto di altri numeri naturali. Teorema fondamentale dell’aritmetica. Ogni numero naturale n > 1 si può scrivere in modo unico come prodotto di numeri primi. Massimo comune divisore (MCD) Si definisce massimo comune divisore (in breve M.C.D.) di due o più numeri naturali, diversi da…

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Equazione

In Matematica, le equazioni sono delle uguaglianze tra monomi o polinomi, per le quali lo scopo è quello di cercare il valore numerico di una o più variabile letterale, detta incognita (ad esempio: \(x\)), che verifica (ossia rende vera) tale uguaglianza. Tale valore è chiamato soluzione o radice dell’equazione. Si definisce monomio come un’espressione algebrica letterale, costituita da una parte numerica (coefficiente)…

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Equazione dimensionale

Le dimensioni fisiche di una grandezza sono costituite da, e soltanto, le grandezze fisiche fondamentali che intervengono nella definizione delle grandezze in oggetto di studio; tali grandezze fondamentali devono essere messe in relazione tra loro mediante il prodotto e l’elevazione a potenza. In questo modo nascono le equazioni dimensionali chiamate così in quanto l’esponente della grandezza…

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Ordine di grandezza

Si definisce, invece, ordine di grandezza di un numero, la potenza di 10 che più si avvicina al numero stesso. L’uso della notazione esponenziale permette di confrontare “a colpo d’occhio” due o più valori stabilendo l’ordine di grandezza dei numeri che li esprimono, ossia la potenza di 10 più vicina.

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Bacino di attrazione

Nella teoria dei sistemi dinamici, si definisce bacino di attrazione l’insieme dei punti di partenza delle traiettorie che tendono asintoticamente a uno stesso attrattore.

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Logaritmo

Proprietà dei logaritmi \[\log_{a}1=0\] \[\log_{a}a=1\] \[\log_{a}(m\cdot n)=\log_{a}m+\log_{a}n\] \[\log_{a}\dfrac{{m}}{n}=\log_{a}m-\log_{a}n\] \[\log_{a}m^{\alpha}=\alpha\cdot\log_{a}m\qquad\textrm{con}\,\alpha\in\mathbb{R}\] Cambiamento di base \[\log_{a}N=\dfrac{\log_{b}N}{\log_{b}a}\] \[\log_{a}b=\dfrac{1}{\log_{b}a}\]

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Regione di accettazione

In un test statistico, si definisce regione di accettazione l’intervallo di valori ritenuti compatibili con un’ipotesi di lavoro iniziale, detta ipotesi nulla. La regione di rifiuto e quella di accettazione bipartiscono lo spazio campionario, consentendoci di prendere una decisione (rifiutare o meno l’ipotesi nulla) qualunque sia il campione osservato.

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Disequazione

Le disequazioni, al contrario delle equazioni, sono delle disuguaglianze tra monomi, o polinomi, per la quale si cerca la soluzione (valore numerico) di una o più variabili letterali, chiamate incognite (come per le equazioni). Esercizi svolti e commentati passo-passo sulle disequazioni Determinare l’insieme delle soluzioni delle seguenti disequazioni. Esercizio 1 \(\dfrac{1+3x}{3}-\dfrac{1}{4}(x-1)<\dfrac{x+6}{6}-\dfrac{1}{3}\) risolviamo le parentesi e…

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Sistema di numerazione

Si definisce sistema di numerazione l’insieme dei simboli e delle regole che permettono di esprimere e rappresentare i numeri. Un sistema di numerazione si dice posizionale se il valore di un simbolo dipende dalla posizione che esso occupa nella scrittura del numero. Vediamo alcune definizioni preliminari: Si definisce base di un sistema di numerazione il numero di…

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Radicali

L’operazione inversa dell’elevazione a potenza è l’estrazione di radice. L’espressione matematica \(\sqrt[n]{a}\) viene detta radicale n-esimo di \(a\) (detto radicando) dove \(n\), l’indice del radicale, è un numero naturale diverso da zero. Dati due numeri naturali \(a\) e \(n\) (con \(n > 1\)) si definisce radice n-esima di \(a\) il numero \(r\) tale che moltiplicando tra…

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Vettore

I vettori vengono indicati nella letteratura scientifica con una lettera, generalmente minuscola, con al di sopra di essa una freccia: \(\vec{v}\). In tale contesto intervengono i seguenti enti fondamentali: vettori liberi: caratterizzati da modulo, direzione e verso; cursori: caratterizzati da modulo, direzione, verso, e retta d’azione; vettori applicati: caratterizzati da modulo, direzione, verso, e punto di…

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Volume

Il volume è la misura dello spazio occupato da un corpo materiale. Viene valutato ricorrendo a molte diverse unità di misura. L’unità adottata dal Sistema Internazionale è il metro cubo, simbolo m3. Il volume di un oggetto solido è un valore numerico utilizzato per descrivere a tre dimensioni quanto spazio occupa il corpo. Ad oggetti…

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Lunghezza

La lunghezza identifica quantitativamente ed oggettivamente un corpo materiale secondo una sola dimensione principale o prevalente del corpo stesso. Il sistema internazionale (SI) definisce l’unità di lunghezza con il metro [m], che corrisponde al tragitto compiuto dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo pari a 1/299.792.458 di secondo; avendo fissato per definizione la velocità della luce a 299.792.458…

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Impulso matematico o delta di Dirac

Si definisce delta di Dirac o impulso matematico come quella funzione, indicata con \(\delta(t)\), dipendente da un parametro reale (generalmente il tempo \(t\)) tale che risulti nulla per tutti i valori di detto parametro ad eccezione dello zero. In matematica, la funzione delta di Dirac (introdotta da Paul Dirac), anche detta impulso di Dirac, distribuzione di Dirac…

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Espressioni matematiche

In Matematica, una espressione rappresenta la scrittura di una serie finita di numeri (espressioni aritmetiche), o lettere (espressioni algebriche), tra i quali sussistono delle operazioni di: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevazione a potenza ed estrazione di radice. L’ordine con cui vengono effettuate tali operazioni è stabilito da una gerarchia di priorità che assume come prioritarie (da…

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Proprietà invariantiva

Proprietà invariantiva della sottrazione In una sottrazione, sottraendo o aggiungendo ad entrambi i termini la stessa quantità, il risultato non cambia. \[a-b=(a+c)-(b+c)\qquad con:\; a\geq b\] \[a-b=(a-c)-(b-c)\qquad con:\; a\geq b\geq c\] Proprietà invariantiva della divisione In una divisione, moltiplicando (o dividendo) i due termini della divisione per uno stesso numero diverso da zero, il quoziente non…

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Proprietà distributiva

Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione Quando si deve moltiplicare un numero per una somma, si può moltiplicare quel numero per ciascun addendo e poi sommare i prodotti ottenuti, e il risultato non cambia. Proprietà distributiva della divisione rispetto all’addizione Quando si deve dividere una somma (o una differenza) per un numero, purché tutti i termini…

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Proprietà dissociativa

Proprietà dissociativa della moltiplicazione La definizione della proprietà dissociativa della moltiplicazione afferma che: a uno o a più fattori se ne sostituiscono altri il cui prodotto è uguale al fattore sostituito il prodotto non cambia. \[a\cdot (k)=a\cdot (b\cdot c) = risultato\]

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Proprietà associativa

Proprietà associativa dell’addizione La somma di tre numeri non cambia se si associano diversamente gli addendi, lasciando invariato il loro ordine. Proprietà associativa della moltiplicazione Il prodotto di tre numeri non cambia se si associano diversamente i fattori, lasciando invariato il loro ordine.

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Proprietà commutativa

Proprietà commutativa dell’addizione In un’addizione, se si cambia l’ordine degli addendi, la somma non cambia. Proprietà commutativa della moltiplicazione In una moltiplicazione, se si cambia l’ordine dei fattori, il prodotto non cambia.

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Nefroide

In Matematica, si definisce nefroide una curva piana, caso particolare dell’epicicloide che si ottiene quando in essa i raggi \(R\) e \(r\) delle due circonferenze che la definiscono sono l’uno il doppio dell’altro. Equazioni della nefroide La forma parametrica delle equazioni di una nefroide sono: \(x(\varphi)=3a\cos\varphi -a\cos3\varphi =6a\cos\varphi -4a\cos^3\varphi\) \(y(\varphi)=3a\sin\varphi -a\sin3\varphi =4a\sin^3\varphi \qquad 0\leq \varphi <2\pi\)…

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Epicicloide

Si definisce epicicloide quella curva descritta da un punto di una circonferenza che rotola, senza strisciare, su di una seconda circonferenza fissa, alla quale è tangente esternamente. In un riferimento cartesiano avente per origine il centro della circonferenza fissa, l’epicicloide ha le seguenti equazioni parametriche: \[\left\{\begin{matrix} x & = & (R+r)\cos{\theta}-r\cos{\left(\dfrac{R+r}{r}\theta\right)} \\ y & = &…

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Quadrato magico

In Matematica, con l’espressione quadrato magico ci si riferisce ad una matrice quadrata di numeri interi positivi disposti in modo tale che la somma dei numeri di ogni riga, di ogni colonna e delle due diagonali sia pari ad una costante, detta costante di magia del quadrato. Un quadrato magico \(n\times n\) si dice perfetto (o normale)…

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Rototraslazione

Questo caso presenta la somma di tutti i casi descritti in precedenza per la traslazione e la rotazione. Quindi, il moto di rototraslazione di un corpo rigido presenta sei gradi di libertà (3 di traslazione e 3 di rotazione). Le equazioni in gioco sono le due equazioni cardinali: \[\vec{F}_{ext}=\dfrac{d\vec{p}}{dt}\] \[\vec{M}_{ext}=\dfrac{d\vec{b}}{dt}\]

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Rotazione

La rotazione è descritta da un angolo di rotazione e dal versore della velocità angolare \(\omega\) (che contiene informazioni sulla direzione ed il verso). Quindi il totale si hanno tre parametri che rispecchiano i tre gradi di libertà della rotazione. Ogni punto del corpo rigido descrive un moto circolare con asse passante per O (asse…

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Traslazione

Si definisce traslazione l’atto di moto di un corpo materiale soggetto ad un’azione tale da provocare uno spostamento su di una traiettoria rettilinea. La traslazione costituisce un caso particolare di rotazione attorno ad un centro istantaneo di rotazione infinitamente lontano, situato in direzione perpendicolare a quella di traslazione. In altre parole è come se un corpo si…

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Traiettoria

Con il termine traiettoria si definisce il luogo dei punti occupati, nello spazio, da un punto materiale durante il suo moto. È generalmente indicata con \(l\), mentre \(s(t)\) rappresenta la distanza percorsa dal punto materiale, ovvero lo spostamento, da \(s_1,t_1\) a \(s_2,t_2\); indipendentemente dal sistema di riferimento scelto, \(s(t)\), descrive come varia la posizione lungo la traiettoria,…

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Semidifferenza

Si definisce semidifferenza la metà del risultato di una sottrazione; ovvero: \[\dfrac{x-y}{2}\]

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Postulato ed equazione di Fourier

La trasmissione del calore è quel meccanismo che il sistema mette in atto quando c’è uno squilibrio termico al suo interno, oppure, con altri sistemi adiacenti. Dunque, affinché il calore si propaghi all’interno di un corpo o una sostanza (da una zona a temperatura più alta ad una più bassa), la temperatura interna al sistema…

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Serie (definizione ed esercizi)

In Analisi Matematica si definisce serie quella successione che consente l’operazione di somma di un numero infinito di addendi; addendi che possono essere sia numeri (in tal caso dicesi serie numerica), sia funzioni (dicesi serie di funzioni), che matrici oppure operatori lineari. Serie numeriche In Analisi Matematica, si definisce serie numerica quella serie che esprime l’addizione di infiniti…

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Criteri di divisibilità

Per verificare se un numero è divisibile per i primi numeri interi si possono applicare i seguenti criteri di divisibilità. Divisibilità per 2 Un numero è divisibile per 2 se e solo se la sua ultima cifra, quella delle unità, è un numero pari, cioè è 0, 2, 4, 6, 8. 1236 finisce per 6…

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Cifre significative e criteri di arrotondamento

Possiamo definire le cifre significative di un numero come il minimo numero di cifre necessarie ad esprimere un dato valore senza comprometterne la precisione. È necessario però dare un metodo su come individuarle, soprattutto in presenza di zeri nel numero. Il conteggio delle cifre significative viene effettuato con queste regole: tutti i valori non nulli…

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Posizione

La posizione di un punto, o di un corpo materiale rappresenta la localizzazione di detto corpo rispetto ad un punto di riferimento, che spesso è l’origine (o il punto zero) di un asse di un sistema di riferimento (come ad esempio l’asse \(x\)). Il verso positivo dell’asse è nella direzione dei numeri crescenti, verso il lato…

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Coseno

In trigonometria, dato un triangolo rettangolo, il coseno di uno dei due angoli interni adiacenti all’ipotenusa è definito come il rapporto tra le lunghezze del cateto adiacente all’angolo e dell’ipotenusa. Variazione della funzione coseno \[\cos0=\cos0^{\circ}=1\] \[\cos\dfrac{\pi}{2}=\cos90^{\circ}=0\] \[\cos\pi=\cos180^{\circ}=-1\] \[\cos\dfrac{3}{2}\pi=\cos270^{\circ}=0\] \[\cos2\pi=\cos360^{\circ}=1\] con \(-1\leq\cos\alpha\leq 1\).

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Seno (matematica)

Variazione della funzione seno \[\sin0=\sin 0^{\circ}=0\] \[\sin\dfrac{\pi}{2}=\sin 90^{\circ}=1\] \[\sin\pi=\sin 180^{\circ}=0\] \[\sin\dfrac{3}{2}\pi=\sin 270^{\circ}=-1\] \[\sin 2\pi=\sin 360^{\circ}=0\] con \(-1\leq\sin\alpha\leq 1\).

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Proporzione

In Matematica, con il termine proporzione si definisce un’uguaglianza fra due rapporti, tipicamente espressi come segue: \[a:b=c:d\] che si legge: \(a\) sta a \(b\) come \(c\) sta a \(d\), questi sono chiamati termini della proporzione ed assumono una denominazione particolare a seconda della posizione occupata nella proporzione stessa: \(a\) e \(c\) sono gli antecedenti (ovvero i numeratori dei rispettivi rapporti); \(b\)…

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Percentuali

Le percentuali sono frazioni che hanno come denominatore 100 e come numeratore un numero intero o decimale. La percentuale si indica con un numero intero o decimale seguita dal simbolo %. Quindi, in generale: \[n\%=\dfrac{n}{100}\] Per passare quindi dalla scrittura percentuale alla scrittura decimale basta dividere il numero che esprime la percentuale per 100, cioè effettuare…

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Metodo scientifico

Il metodo scientifico è il metodo o procedimento sperimentale tipico con cui è possibile procedere per raggiungere una conoscenza della realtà oggettiva, affidabile, verificabile e condivisibile. Il metodo scientifico passo-passo Il metodo scientifico o sperimentale si articola principalmente in due fasi: fase induttiva (cioè dallo studio di dati sperimentali si giunge alla formulazione di una regola universale); fase deduttiva. La fase induttiva si divide inoltre in:…

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Geometria

La parola geometria deriva dal greco antico: γεωμετρία, composta da γεω (geo) che significa “terra” e da μετρία (metria) che significa “misura”, tradotto alla lettera significa “misura della terra”. Gli enti geometrici primitivi (non suscettibili cioè di una definizione, ma definiti implicitamente da un sistema di assiomi di base) sono: il punto; la retta; il…

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